《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例4|
比较下列各组值的大小:
(1)logs$\frac{3}{4}$与logs$\frac{4}{3}$;(2)1og÷2与1og÷2。

答案：
答
(1)方法一(单调性法);因为对数函数
y=logsx在(0,+∞)上是增函数,且$\frac{3}{4}$＜$\frac{4}{3}$,
所以logs$\frac{3}{4}$＜logs$\frac{4}{3}$。
方法二(中间值法):因为logs$\frac{3}{4}$＜0,logs$\frac{4}{3}$＞
0,所以logs$\frac{3}{4}$＜logs$\frac{4}{3}$。
(2)方法一(单调性法):因为log+2=
1 ,1og÷2= 1 ,对数函数y=log2x在
log2$\frac{1}{3}$ log2$\frac{1}{5}$
(0,+∞)上是增函数,且$\frac{1}{3}$＞$\frac{1}{5}$,所以0＞
log2$\frac{1}{3}$＞log2$\frac{1}{5}$,所以 1 ＜ 1 ,所以
log2$\frac{1}{3}$ log2$\frac{1}{5}$
log+2＜1og÷2。
方法二(图像法);如图6−3−12所示,在同
一平面直角坐标系中分别画出y=log+x及
y=log÷x的图像,由图易知log+2＜log÷2。

例5|
已知函数∮(x)=log2[ax²+(a−1)x+$\frac{1}{4}$1。
(1)若定义域为R,求实数a的取值范围;
(2)若值域为R,求实数a的取值范围。

答案：
答
(1)要使∮(x)的定义域为R,则对任意
题,关键是抓住对数函数y=log。x的定义域和值域,并结合图像来分析和解
决。由图6−3−11可知对
数函数y=log。x的定义域
为(0,+∞),值域为R。
反过来,要使函数y=log。x
的值域为R,由图像可知,x必须取遍(0,+∞)
内所有的值(一个也不能少)。
(1)若y=logα(x)的定义域为R,则对于任意实数x恒有(x)＞0,特别是当(x)=dx²+bx+c (d≠0)时,要使y=logα(x)的定义域为R,,则有d＞0且△＜0。
(2)若已知y=loga(x)的值域为R,则(x)必须取遍(0，+∞)内的所有值(一个也不能少)，则对于函数t=(x)而言,必须有t=(x)的值域包含(0,+∞)(此时y=logα(x)的定义域一般包含于t=(x)的定义域之中)。反之,若(x)≥m(m＞0),则当a＞1时,有y=loga(x)≥logαm;当0＜a＜1时,有y=loga(x)≤logam,因此其值域一定不为R。特别地,当(x)=dx²+
bx+c(d≠0)时,要使y=logα(x)的值域为R,则有d＞0且△≥0。