《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1 江苏高考
已知集合$M=\left\{x\left|x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{4},k\in\mathbf{Z}\right.\right\}$，$N=\left\{x\left|x=\frac{k\pi}{4}+\frac{\pi}{2},k\in\mathbf{Z}\right.\right\}$，则()。

A.$M=N$
B.$M\supseteq N$
C.$M\subseteq N$
D.$M\cap N=\varnothing$

答案： 解
∵$\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=(2k+1)·\frac{\pi}{4},k\in\mathbf{Z}$，$\frac{k\pi}{4}+\frac{\pi}{2}=(k+2)·\frac{\pi}{4},k\in\mathbf{Z}$，且$2k+1$是奇数，$k+2$是整数，
∴$M\subseteq N$。
答 C

例2
(1)(新高考Ⅰ)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图7-1-2-7所示。$ O $为圆孔及轮廓圆弧$ AB $所在圆的圆心，$ A $是圆弧$ AB $与直线$ AG $的切点，$ B $是圆弧$ AB $与直线$ BC $的切点，四边形$ DEFG $为矩形，$ BC\perp DG $，垂足为$ C $，$\tan\angle ODC=\frac{3}{5}$，$ BH// DG $，$ EF=12\ cm $，$ DE=2\ cm $，$ A $到直线$ DE $和$ EF $的距离均为$7\ cm$，圆孔半径为$1\ cm$，则图中阴影部分的面积为$ cm^2$。
(2)(2022·全国甲高考)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”。如图7-1-2-8所示，$\overset{\frown}{AB}$是以$ O $为圆心，$ OA $为半径的圆弧，$ C $是$ AB $的中点，$ D $在$\overset{\frown}{AB}$上，$ CD\perp AB $。“会圆术”给出$\overset{\frown}{AB}$的弧长的近似值$ s $的计算公式：$ s=AB+\frac{CD^{2}}{OA} $。当$ OA=2 $，$\angle AOB=60^{\circ}$时，$ s=($$) $。
A. $\frac{11-3\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{11-4\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{9-3\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{9-4\sqrt{3}}{2}$

答案：
解
(1)如图7-1-2-9所示，连接$ OA $，作$ AQ\perp DE $，交$ ED $的延长线于点$ Q $，作$ AM\perp EF $，垂足为点$ M $，交$ DG $于点$ E' $，交$ BH $于点$ F' $，记过点$ O $且垂直于$ DG $的直线与$ DG $的交点为点$ P $，设$ OP=3m $，则$ DP=5m $，由题意得$ AQ=AM=7 $，于是$ AE'=5 $，$ E'G=5 $，
∴$\angle AGE'=\angle AHF'=\frac{\pi}{4}$。
∵直线$ AG $与圆弧$ AB $相切于点$ A $，
∴$ OA\perp AG $，
∴$\triangle AOH$为等腰直角三角形。
∵$ AM\perp EF $，
∴$ AF'=OF'=F'H $。又$ AF'=5-3m $，$ OF'=7-5m $，
∴$5-3m=7-5m$，得$ m=1 $，
∴$ AF'=5-3m=2 $，$ OF'=7-5m=2 $，
∴$ OA=2\sqrt{2} $，则阴影部分的面积$ S=\frac{180-45}{360}×\pi×(2\sqrt{2})^{2}+\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}-\frac{\pi}{2}×1^{2}=\left(\frac{5\pi}{2}+4\right) cm^2 $。
(2)如图7-1-2-10所示，连接$ OC $，由题易知$ O,C,D $三点共线，$ OC\perp AB $，又因为$\angle AOB=60^{\circ}$，$ OA=OB=2 $，所以$ AB=2 $，$ OC=\sqrt{3} $，故$ CD=2-\sqrt{3} $，代入公式可得$ s=2+\frac{(2-\sqrt{3})^{2}}{2}=\frac{11-4\sqrt{3}}{2} $，故选B。
答
(1)$\frac{5\pi}{2}+4$
(2)B