《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

(1) 充分利用函数的单调性和图像是求函数值域的常用方法。
(2) 求对数型函数的最大值、最小值问题，一般要转化为求二次函数最值的问题，求二次函数最值常用配方法，配方时注意自变量的取值范围。
(3) 若对数函数的底数是含字母的代数式（或单独一个字母），要探究其单调性，就必须对底数进行分类讨论。
归纳总结
(1) 求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域（最值）时，关键是根据单调性求解，若需换元，则要考虑新元的取值范围。
(2) 对于形如$y = \log_a f(x) (a ＞ 0, a \neq 1)$的复合函数，其值域的求解步骤如下：
①分解成$y = \log_a u, u = f(x)$两个函数；
②求$f(x)$的定义域；
③求$u$的取值范围；
④利用$y = \log_a u$的单调性求解。

答案： 由于题目未给出具体对数函数题目，假设题目为：求函数$y = \log_2(-x^2 + 4x + 12)$的值域。
根据以下步骤作答：
① 分解成 $y = \log_2 u$ 和 $u = -x^2 + 4x + 12$。
② $u = -x^2 + 4x + 12$ 的定义域：
由于 $u ＞ 0$，解不等式 $-x^2 + 4x + 12 ＞ 0$，即 $x^2 - 4x - 12 ＜ 0$。
解得：$x \in (-2, 6)$。
③ 求 $u$ 的取值范围：
$u = -x^2 + 4x + 12 = -(x - 2)^2 + 16$。
由于 $x \in (-2, 6)$，则 $u$ 的取值范围为 $(0, 16]$。
④ 利用 $y = \log_2 u$ 的单调性求解：
由于 $y = \log_2 u$ 是增函数，当 $u$ 取最大值 16 时，$y$ 取最大值 $\log_2 16 = 4$。
当$u$无限趋近于$0$时，$y$ 趋近于$-\infty$，所以值域下限为$-\infty$，但由于对数函数定义域要求$u＞0$，所以值域不包括$-\infty$，但可以无限接近。
所以值域为：$y \in (-\infty, 4]$。

解对数不等式应根据对数函数的单调性转化为关于真数的不等式，求解时应注意原对数式的真数大于0的条件。常见对数不等式类型如下：
$\log_a f(x) ＞ \log_a g(x) \begin{cases} a ＞ 1 \\ g(x) ＞ 0 \\ f(x) ＞ g(x) \end{cases}$
$\log_a f(x) ＜ \log_a g(x) \begin{cases} 0 ＜ a ＜ 1 \\ g(x) ＞ 0 \\ f(x) ＞ g(x) \end{cases}$

答案： 解题通法
对数不等式的三种考查类型及求解方法
(1) 形如$\log_a x ＞ \log_a b$的不等式，借助$y = \log_a x$的单调性求解，如果$a$的取值不确定，需分$a ＞ 1$与$0 ＜ a ＜ 1$两种情况进行讨论。
(2) 形如$\log_a x ＞ b$的不等式，先将$b$化为以$a$为底数的对数式的形式$(b = \log_a a^b)$，再借助$y = \log_a x$的单调性求解。
答 令$t = \log_4 x, t \in [0, \frac{3}{2}]$，又$\log_{\frac{1}{4}} \sqrt{x} = -\frac{1}{2} \log_2 x = -\frac{1}{2} \log_4 x^2 = -\log_4 x$，
则$y = t^2 - t - 3, t \in [0, \frac{3}{2}]$，函数的对称轴为直线$t = \frac{1}{2} \in [0, \frac{3}{2}]$，
故当$t = \frac{1}{2}$，即$x = 2$时，$f(x)_{\min} = -\frac{13}{4}$，
当$t = \frac{3}{2}$，即$x = 8$时，$f(x)_{\max} = -\frac{9}{4}$，
∴$f(x)$的值域是$\left[-\frac{13}{4}, -\frac{9}{4}\right]$，
且当$x = 2$时，$f(x)$取得最小值；当$x = 8$时，$f(x)$取得最大值。

例3
(1) 解不等式：$\log_a(2x - 5) ＞ \log_a(x - 1)$；
(2) 已知$\log_{0.7}(2x) ＜ \log_{0.7}(x - 1)$，求$x$的取值范围。

答案： 答
(1) 当$a ＞ 1$时，原不等式等价于$\begin{cases} 2x - 5 ＞ 0, \\ x - 1 ＞ 0, \\ 2x - 5 ＞ x - 1, \end{cases}$解得$x ＞ 4$；
当$0 ＜ a ＜ 1$时，原不等式等价于$\begin{cases} 2x - 5 ＞ 0, \\ x - 1 ＞ 0, \\ 2x - 5 ＜ x - 1, \end{cases}$解得$\frac{5}{2} ＜ x ＜ 4$。
综上，当$a ＞ 1$时，原不等式的解集为$\{x | x ＞ 4\}$；当$0 ＜ a ＜ 1$时，原不等式的解集为$\{x | \frac{5}{2} ＜ x ＜ 4\}$。
(2)
∵函数$y = \log_{0.7} x$在$(0, +\infty)$上为减函数，
∴由$\log_{0.7}(2x) ＜ \log_{0.7}(x - 1)$，得$\begin{cases} 2x ＞ 0, \\ x - 1 ＞ 0, \\ 2x ＞ x - 1, \end{cases}$