《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

(1)寻求充分、必要条件的思路
①寻求q的充分条件p,即求使q成立的条件p;
②寻求q的必要条件p,即求以q为条件可推出
解(1)设A={x1x²−1=0}=|−1,1},
B=|x11xl−1=0}=|−1,1},所以A=B,
即“x²−1=0”是“lxl−1=0”的充要条件。
(2)设A=|x1x＜5},B=|x1x＜3},因为
AB,所以“x＜5”是“x＜3”的必要且不充
分条件。
答(1)充要条件 (2)必要且不充分条件

答案：
(1)充要条件
(2)必要且不充分条件（答案选项按题目顺序依次为对应描述的概括，本题按要求直接填对应类型概括词）
(1)充要
(2)必要不充分

例22024.吉林延边二中期末
求证:方程x²+(2k−1)x+k²=0的两个根
均大于1的充要条件是k＜−2。
答①必要性:若方程x²+(2k−1)x+k²=
0有两个大于1的根，不妨设两个根分别为
△=(2k−1)²−4k²≥0,
x1, x2, 则 {(x1−1)+(x2−1)＞0,=
(x−1)(x2−1)＞0
k≤$\frac{1}{4}$, k≤$\frac{1}{4}$,
{(x1+x)−2＞0, ⇒{−(2k−1)−2＞0,解
x−(x1+x)+1＞0 [k²+(2k−11)+1＞0'
得k＜−2。
②充分性:当k＜−2时,△=(2k−1)²−4k2=
1−4k＞0。设方程x²+(2k−1)x+k²=0的
两个根分别为x1,x2,则(x−1)(x2−1)=
xx2−(x+x2)+1=k²+2k−1+1=k(k+
2)＞0。又(x−1)+(x2−1)=(x1+x2)−
2=−(2k−1)−2=−2k−1＞0,所以x1−
1＞0,x2−1＞0,故x＞1,x2＞1。
综上可知,方程x²+(2k−1)x+k²=0的两
个根均大于1的充要条件是k＜−2。

答案： ①必要性：设方程$x^2 + (2k - 1)x + k^2 = 0$的两根为$x_1, x_2$，且$x_1 ＞ 1, x_2 ＞ 1$。则需满足：
$\begin{cases}\Delta = (2k - 1)^2 - 4k^2 \geq 0, \\(x_1 - 1) + (x_2 - 1) ＞ 0, \\(x_1 - 1)(x_2 - 1) ＞ 0\end{cases}$
即$\begin{cases}1 - 4k \geq 0 \Rightarrow k \leq \frac{1}{4}, \\(x_1 + x_2) - 2 ＞ 0 \Rightarrow -(2k - 1) - 2 ＞ 0 \Rightarrow -2k - 1 ＞ 0 \Rightarrow k ＜ -\frac{1}{2}, \\x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 ＞ 0 \Rightarrow k^2 + (2k - 1) + 1 ＞ 0 \Rightarrow k(k + 2) ＞ 0 \Rightarrow k ＜ -2 或 k ＞ 0\end{cases}$
取交集得$k ＜ -2$。
②充分性：若$k ＜ -2$，则$\Delta = 1 - 4k ＞ 1 - 4×(-2) = 9 ＞ 0$，方程有两实根$x_1, x_2$。
$(x_1 - 1) + (x_2 - 1) = (x_1 + x_2) - 2 = -(2k - 1) - 2 = -2k - 1$，因$k ＜ -2$，则$-2k ＞ 4$，故$-2k - 1 ＞ 3 ＞ 0$；
$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = k^2 + (2k - 1) + 1 = k(k + 2)$，因$k ＜ -2$，则$k ＜ 0, k + 2 ＜ 0$，故$k(k + 2) ＞ 0$。
从而$x_1 - 1 ＞ 0, x_2 - 1 ＞ 0$，即$x_1 ＞ 1, x_2 ＞ 1$。
综上，方程的两个根均大于1的充要条件是$k ＜ -2$。

例3−12024.辽宁省实验中学期中
设a∈R,则a＞4的一个必要且不充分条件
是()。

A.a＞1
B.a＜1
C.a＞5
D.a＜5
解由题意,当a＞4时,a＞1−定成立;当
a＞1成立时,a＞4不一定成立。所以a＞1
是a＞4的一个必要且不充分条件，故选A。

答案： A