《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1
函数y=|sin(x+$\frac{H}{3}$)+$\frac{1}{2}$|的最小正周期为多少？
错解由y=sinx的最小正周期T=2π可知y=
Isinx|的最小正周期为π,所以y=
|sinx+$\frac{H}{3}$}|的最小正周期为π,所以y=
|sinx+$\frac{H}{3}${+$\frac{1}{2}$|的最小正周期为π。
错因分析，错解根据y=sinx的最小正周期T=
2π得y=lsinxl的最小正周期为π来推断y=
|sin(x+$\frac{H}{3}${+$\frac{1}{2}$|的最小正周期是π,这显然是错误的，其原因是|sinx+π+$\frac{H}{3}$)+$\frac{1}{2}$=
−sin(x+$\frac{H}{3}$)+$\frac{1}{2}$|= sin(x+$\frac{A}{3}$)−$\frac{1}{2}$ ≠sin(x+$\frac{A}{3}$)+$\frac{1}{2}$|。
正解设f(x)=|sin(x+$\frac{A}{3}$)+$\frac{1}{2}$|。因为|sin(x+2π+$\frac{H}{3}$)+$\frac{1}{2}$|=|sin∠x+$\frac{H}{3}$)+$\frac{1}{2}$|对任
意实数x都成立，所以2π是y=
|sinx+$\frac{H}{3}$)+$\frac{1}{2}$|的一个周期。
设T是函数∮(x)的一个周期,且0＜T＜2π,则f(x)=|sin{∠x+$\frac{H}{3}$)+$\frac{1}{2}$|=f(x+T) =
|sinx+T+$\frac{A}{3}$)+$\frac{1}{2}$|对x∈R恒成立。令x=
$\frac{H}{6}$,则有|sin(T+$\frac{H}{2}$)+$\frac{1}{2}$|=$\frac{3}{2}$。因为0＜T＜2π,所以−1≤sin(T+$\frac{H}{2}${＜1,这与sinT+$\frac{H}{2}$)+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$矛盾。故2π是y=
sinx+$\frac{H}{3}${+$\frac{1}{2}$的最小正周期。
满分策略，利用定义检验周期函数的周期是有必要的。形如y=|sin(仞x+)1(∞≠0)的函数,其周期T=;;而形如y=Isin(cx+)+bl(b≠0,仞≠0)的函数,其周期T=2π

答案： $ 2\pi $

例2
定义在R上的函数f(x)既是奇函数,又是周期
函数,T是它的一个正周期,若将方程∮(x)=0 在闭区间[−T,T]上的根的个数记为n,则n的值为多少？
错解因为∮(x)为R上的奇函数,所以f(0)=
0。又因为T是函数f(x)的一个正周期,所以f(T)=f(−T)=∮(0)=0。故方程∮(x)=0在闭区间[−T,T]上的根的个数n为3。
错因分析;以上错解是直接根据f(T)=f(−T)=
f0)=0,就想当然地认为方程的根就只有3个，这是个虚假的依据，很多同学往往没有经过严密的逻辑思考，就根据简单的几个步骤来虚假推断，从而造成差错,因此,解题时一定要有严密的逻辑性才行。
正解因为∮(x)是R上的奇函数,所以f(O)=
0。又因为T是函数f(x)的一个正周期,所以
f(T)=f(−T)=∮(O)=0。
又f(−$\frac{T}{2}$)=f(T−$\frac{T}{2}$)=f($\frac{T}{2}$),且f(−$\frac{T}{2}$)=
−f(($\frac{T}{2}${,所以f($\frac{T}{2}$)=0,于是可得f(−$\frac{T}{2}${=
f($\frac{T}{2}${=0。所以方程f(x)=0在闭区间[−T,
T]上的根的个数为5,故n的值为5。
满分策略，对于抽象函数的性质探究，要从题设
的条件入手去分析解题的切入口,类比条件相
同、已熟知的函数,如本题可以类比函数
y=sinx来探究,切不可没有严密的思考就
下结论。

答案： 由于$f(x)$是$R$上的奇函数，所以$f(0 = 0$。
由于$T$是函数$f(x)$的一个正周期，所以$f(T) = f(-T) = f(0) = 0$。
$f\left( - \frac{T}{2} \right) = f\left( T - \frac{T}{2} \right) = f\left( \frac{T}{2} \right)$，且$f\left( - \frac{T}{2} \right) = -f\left( \frac{T}{2} \right)$，所以$f\left( \frac{T}{2} \right) = 0$，于是可得$f\left( - \frac{T}{2} \right) =f\left( \frac{T}{2} \right) = 0$。
由于$f(x)$是周期函数，其在$[−T, T]$上：$x = -T, - \frac{T}{2}, 0, \frac{T}{2}, T$，均为$f(x)=0$的根。
因此，在闭区间$[−T, T]$上，方程$f(x) = 0$共有$5$个根。
所以$n$的值为$5$。