《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1-2
二次函数$f(x)$满足$f(x+1)-f(x)=2x$，且$f(0)=1$，则$f(x)$的解析式为$f(x)=$。

答案： 解 设$f(x)=ax^2+bx+c,a\neq0$，
由$f(x+1)-f(x)=2x$，得
$a(x+1)^2+b(x+1)+c-(ax^2+bx+c)=2x$，
化简得$2ax+a+b=2x$，$\therefore a=1,b=-1$。
又$f(0)=1$，$\therefore c=1$。
$\therefore f(x)=x^2-x+1$。
答 $x^2-x+1$
点评
(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数、反比例函数)，可用待定系数法；
(2)通常先设出已知函数的解析式，再根据条件列出关于待定系数的方程组，解出系数，即得到函数的解析式。

例1-3 2024·天津南开中学期中
定义在区间$(-1,1)$上的函数$f(x)$满足$2f(x)-f(-x)=x^2$，求$f(x)$的解析式。

答案： 答 $\because$对任意的$x\in(-1,1)$有$-x\in(-1,1)$，
$\therefore$由$2f(x)-f(-x)=x^2$，①
得$2f(-x)-f(x)=(-x)^2$，②
①$×2+$②消去$f(-x)$得$3f(x)=3x^2$，
$\therefore f(x)=x^2(-1＜x＜1)$。

例1-4 2024·河北衡水中学期末
设$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的函数，且满足$f(0)=1$，并且对任意的实数$x,y$都有$f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)$，求$f(x)$的解析式。

答案： 答 方法一：因为$f(0)=1$，且$f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)$，所以令$y=x$，则$f(x-y)=f(0)=f(x)-x(2x-x+1)$，所以$f(x)=x^2+x+1$。
方法二：令$x=0$，得$f(0-y)=f(0)-y(-y+1)$，即$f(-y)=1-y(-y+1)$，将$-y$用$x$代换得$f(x)=x^2+x+1$。