《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1-2 2024·山东临沂模拟
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉。设$ x\in\mathbf{R} $，用$ [x] $表示不超过$ x $的最大整数，则$ y=[x] $称为高斯函数，也称取整函数，例如：$ [-3.7]=-4 $，$ [2.3]=2 $。已知$ f(x)=\frac{e^x}{e^x+1}-\frac{1}{2} $，则函数$ y=[f(x)] $的值域为()。

A.$ \{0\} $
B.$ \{-1,0\} $
C.$ \{-2,-1,0\} $
D.$ \{-1,0,1\} $

答案： 解 $ f(x)=1-\frac{1}{e^x+1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{e^x+1} $。
$ \because e^x+1＞1 $，$ \therefore -1＜-\frac{1}{e^x+1}＜0 $，
$ \therefore -\frac{1}{2}＜\frac{1}{2}-\frac{1}{e^x+1}＜\frac{1}{2} $，$ \therefore -\frac{1}{2}＜f(x)＜\frac{1}{2} $，
$ \therefore [f(x)]=-1 $或$ 0 $，$ \therefore y=[f(x)] $的值域为$ \{-1,0\} $。
答 B

例2
已知定义域为$ \mathbf{R} $的函数$ f(x) $满足$ f(f(x)-x^2+x)=f(x)-x^2+x $。
(1)若$ f(2)=3 $，求$ f(1) $的值；又若$ f(0)=a $，求$ f(a) $的值；
(2)设有且只有一个实数$ x_0 $，使得$ f(x_0)=x_0 $，求函数$ f(x) $的解析式。

答案： 答
(1)因为对任意$ x\in\mathbf{R} $，有$ f(f(x)-x^2+x)=f(x)-x^2+x $，所以$ f(f(2)-2^2+2)=f(2)-2^2+2 $。又由$ f(2)=3 $，得$ f(3-2^2+2)=3-2^2+2 $，即$ f(1)=1 $。若$ f(0)=a $，则$ f(a-0^2+0)=a-0^2+0 $，即$ f(a)=a $。
(2)因为对任意$ f(f(x)-x^2+x)=f(x)-x^2+x $，有且只有一个实数$ x_0 $，使得$ f(x_0)=x_0 $，所以对任意$ x\in\mathbf{R} $，有$ f(x)-x^2+x=x_0 $。在上式中令$ x=x_0 $，得$ f(x_0)-x_0^2+x_0=x_0 $。又因为$ f(x_0)=x_0 $，所以$ x_0-x_0^2=0 $，故$ x_0=0 $或$ x_0=1 $。若$ x_0=0 $，则$ f(x)-x^2+x=0 $，即$ f(x)=x^2-x $。但方程$ x^2-x=x $有两个不相等的实根，与题设条件矛盾，故$ x_0\neq0 $。若$ x_0=1 $，则$ f(x)-x^2+x=1 $，即$ f(x)=x^2-x+1 $。易验证该函数满足题设条件。综上可知，所求函数的解析式为$ f(x)=x^2-x+1(x\in\mathbf{R}) $。