《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例2 全国高中数学联赛湖南初赛
设实数 a,b,m∈R，若满足 (a - m)² ＜ (b - m)²，则称 a 比 b 更接近 m。
(1)若 2x 比 x + 1 更接近 0，求实数 x 的取值范围；
(2)判断“(x + y - 2m)/(x - y) ＜ -1”是“x 比 y 更接近 m”的什么条件？并说明理由。
答 (1)由题意可知 (2x - 0)² ＜ (x + 1 - 0)²，即 3x² - 2x - 1 ＜ 0，
解得 -1/3 ＜ x ＜ 1，则实数 x 的取值范围是(-1/3,1)。
(2)① 由题意可知 (x + y - 2m)/(x - y) = (x - m) + (y - m)/(x - y) ＜ -1。
a. 若 x - y ＜ 0，则 (x - m) + (y - m) ＞ 0，显然必有 y - m ＞ 0，
那么，若 x - m ＞ 0，则显然 |x - m| ＜ |y - m|，满足 (x - m)² ＜ (y - m)²，
若 x - m ＜ 0，则必有 |x - m| ＜ |y - m|，满足 (x - m)² ＜ (y - m)²。
b. 同理若 x - y ＞ 0，则 (x - m) + (y - m) ＜ 0，显然必有 y - m ＜ 0，
那么，若 x - m ＞ 0，则显然 |x - m| ＜ |y - m|，满足 (x - m)² ＜ (y - m)²，若 x - m ＜ 0，则必有 |x - m| ＜ |y - m|，满足 (x - m)² ＜ (y - m)²。
∴“(x + y - 2m)/(x - y) ＜ -1”是“x 比 y 更接近 m”的充分条件。
②x 比 y 更接近 m，则 (x - m)² ＜ (y - m)²，或 |x - m| ＜ |y - m|，
显然存在 -1 ＜ (x + y - 2m)/(x - y) ＜ 0 成立。
∴“(x + y - 2m)/(x - y) ＜ -1”不是“x 比 y 更接近 m”的必要条件
综上，“(x + y - 2m)/(x - y) ＜ -1”是“x 比 y 更接近 m”的充分且不必要条件。

答案：
(1)由题意，$ (2x - 0)^2 ＜ (x + 1 - 0)^2 $，即$ 4x^2 ＜ (x + 1)^2 $，展开得$ 4x^2 ＜ x^2 + 2x + 1 $，化简为$ 3x^2 - 2x - 1 ＜ 0 $。解方程$ 3x^2 - 2x - 1 = 0 $，得根$ x = 1 $或$ x = -\frac{1}{3} $，故不等式解集为$ -\frac{1}{3} ＜ x ＜ 1 $，即实数$ x $的取值范围是$ \left( -\frac{1}{3}, 1 \right) $。
(2)“$ \frac{x + y - 2m}{x - y} ＜ -1 $”是“$ x $比$ y $更接近$ m $”的充分不必要条件。理由如下：
充分性：设$ A = x - m $，$ B = y - m $，则不等式变为$ \frac{A + B}{A - B} ＜ -1 $。若$ A - B ＞ 0 $，则$ A + B ＜ - (A - B) \Rightarrow 2A ＜ 0 \Rightarrow A ＜ 0 $，此时$ A ＜ 0 ＜ B $且$ |A| ＜ |B| $；若$ A - B ＜ 0 $，则$ A + B ＞ - (A - B) \Rightarrow 2A ＞ 0 \Rightarrow A ＞ 0 $，此时$ B ＜ 0 ＜ A $且$ |A| ＜ |B| $，均有$ (x - m)^2 ＜ (y - m)^2 $，即充分性成立。
必要性：取$ x = 1 $，$ y = -2 $，$ m = 0 $，则$ |x - m| = 1 ＜ |y - m| = 2 $，即$ x $比$ y $更接近$ m $，但$ \frac{x + y - 2m}{x - y} = \frac{1 - 2}{1 + 2} = -\frac{1}{3} ＞ -1 $，故必要性不成立。
综上，为充分不必要条件。