《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例4 (1)(江苏高考)已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数。当$x＞0$时，$f(x)=x^2-4x$，则不等式$f(x)＞x$的解集用区间表示为。
(2)(全国Ⅱ高考)已知偶函数$f(x)$在$[0,+∞)$上单调递减，$f(2)=0$。若$f(x-1)＞0$，则$x$的取值范围是。

答案：
解
(1)作出$f(x)=x^2-4x(x＞0)$的图像，由于$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，利用奇函数的图像关于原点对称作出$x＜0$的图像，如图5-4-8所示。不等式$f(x)＞x$表示函数$y=f(x)$的图像在$y=x$的图像的上方，解方程$f(x)=x$求出A，B两点的横坐标并观察图像易得所求解集为$(-5,0)∪(5,+∞)$。
(2)方法一：
∵$f(x)$是偶函数，
∴其图像关于$y$轴对称。又$f(2)=0$，且$f(x)$在$[0,+∞)$上单调递减，则$f(x)$的大致图像如图5-4-9所示，由$f(x-1)＞0$，得$-2＜x-1＜2$，即$-1＜x＜3$。
方法二：由题意知$f(2)=0＜f(x-1)$，函数$f(x)$在$[0,+∞)$上单调递减，且为偶函数，则$2＞|x-1|$，解得$-1＜x＜3$。
答
(1)$(-5,0)∪(5,+∞)$
(2)$(-1,3)$
解题通法
利用函数的奇偶性解不等式的必备知识和解题方法
(1)必备知识：奇、偶函数图像的对称性
给出奇函数或偶函数在$y$轴一侧的图像，根据奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于$y$轴对称，可以作出函数在$y$轴另一侧的图像。作对称图像时，可以先从点的对称出发，点$(x_0,y_0)$关于原点的对称点为$(-x_0,-y_0)$，关于$y$轴的对称点为$(-x_0,y_0)$。
(2)解题方法：利用奇、偶函数的图像和性质解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知条件，把未知不等式转化成$f(x_1)＞f(x_2)$或$f(x_1)＜f(x_2)$的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，列出不等式或不等式组求解，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响。