《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1−12023.全国乙高考
若θ∈(0)$\frac{H}{2}${,tanθ=$\frac{1}{2}$,则sinθ−cosθ=
。

答案： 解{tanθ=$\frac{sin0}{COS0}$=$\frac{1}{2}$'且θ∈(0,$\frac{1}{2}$),解得sin²θ+cos2θ=1,
sinθ=$\frac{√5}{5}$'
故sinθ−cosθ=−$\frac{√5}{5}$。
cOSθ= ,
{
$\frac{2√5}{5}$
答−$\frac{√5}{5}$

例1−22022.浙江高考
设x∈R,则“sinx=1”是“cosx=0"的()。

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 解由sin²x+cos2x=1可得,当sinx=1时,cosx=0,故充分性成立;当cosx=0时,sinx=
±1,故必要性不成立。所以“sinx=1”是“cosx=0”的充分不必要条件。
答A

例2辽宁高考
已知tanθ=2,则sin²θ+sinθcosθ−2cos2θ=
()。

A.−$\frac{4}{3}$
B.$\frac{5}{4}$
C.−$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： 解 原式 =$\frac{sin²θ+sin0cosθ−2cos0}{sin²θ+cos²0}$=
$\frac{tan²θ+tan0−2}{tan²0+1}$=$\frac{4+2−2}{4+1}$=$\frac{4}{5}$。
答D

例3辽宁高考
已知sinα−cosα=√2,α∈(0,π),则tanα的值是()。

A.−1
B.−$\frac{√2}{2}$
C.$\frac{√2}{2}$
D.1

答案： 解方法一:通过解方程得到sinα,cosα的值。把sinα=√2+cosα代入cos2α+sin²α=1,整理
得2cos2α+2√2cosα+1=0,即(√2cosα+1)2=
0,从而coSα=−$\frac{√2}{2}$,将其代入条件式，解得sin=$\frac{√2}{2}$,所以tanα=−1。
方法二:可以逆向探讨。令tanα=$\frac{sinQ}{COSQ}$.. =t,则sinα=tcosα,代入sinα−cosα=√2,得到sinα=$\frac{√2t}{t−1}$,coSQ=$\frac{√2}{t−1}$,所以($\frac{√2t}{t−1}$)2+
2
{$\frac{√2}{t−1}$)=1,整理可得t²+2t+1=0,即t=−1。
方法三:借鉴上述思路,则由(sinα−cosα)²=
2,得$\frac{sin²α−2sinαcosα+cosα}{sin²α+cos²α}$=2，于是2
$\frac{tan²α−2tanα+1}{tan²α+1}$=2,即tan²α+2tanα+1=0,
解得tanα=−1。
答A