《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例4-4
已知函数$ f(x)=\begin{cases} -x^2+2x,x＞0, \\ 0,x=0, \\ x^2+mx,x＜0 \end{cases} $是奇函数。
(1)求实数$ m $的值，并在平面直角坐标系中画出函数$ y=f(x) $的图像；
(2)若函数$ f(x) $在区间$ [-1,a-2] $上单调递增，求实数$ a $的取值范围；
(3)结合图像，求函数$ f(x) $在区间$ [-2,2] $上的最大值和最小值。

答案：
答
(1)当$ x＜0 $时，$ -x＞0 $，
$ \therefore f(-x)=-(-x)^2+2(-x)=-x^2-2x $。
又$ f(x) $为奇函数，$ \therefore f(-x)=-f(x) $，
$ \therefore $当$ x＜0 $时，$ f(x)=x^2+2x=x^2+mx $，
$ \therefore m=2 $。
利用描点法描出点$ (0,0) $，$ (1,1) $，$ (2,0) $，作出$ f(x) $在$ y $轴右侧的图像，再利用奇函数图像的对称性可得到$ f(x) $在$ y $轴左侧的图像，故得$ y=f(x) $的图像如图5-2所示。
(2)由
(1)知$ f(x)=\begin{cases} -x^2+2x,x＞0, \\ 0,x=0, \\ x^2+2x,x＜0, \end{cases} $
由函数$ f(x) $的图像可知，$ f(x) $在$ [-1,1] $上单调递增，要使$ f(x) $在$ [-1,a-2] $上单调递增，只需$ -1＜a-2\leq1 $，解得$ 1＜a\leq3 $。
故实数$ a $的取值范围是$ (1,3] $。
(3)由图像可知，$ f(x) $在区间$ [-2,2] $上的最大值是$ f(1)=1 $，最小值是$ f(-1)=-1 $。

例5-1
已知函数$ f(x)=3x^2-12x+5 $，当自变量$ x $在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值。
(1)$ \mathbf{R} $;(2)$ [0,3] $;(3)$ [-1,1] $。

答案：
解 将函数$ f(x) $的解析式配方，结合图像在其定义域内研究最值。
答 $ f(x)=3x^2-12x+5=3(x-2)^2-7 $，作出函数$ y=f(x) $的图像，如图5-3所示。
(1)当$ x\in\mathbf{R} $时，$ f(x)=3(x-2)^2-7\geq-7 $，当$ x=2 $时，等号成立。故当$ x\in\mathbf{R} $时，函数$ f(x) $的最小值为$ -7 $，无最大值。
(2)由图5-3可知，在$ [0,3] $上，函数$ f(x) $在$ x=0 $处取得最大值，最大值为$ 5 $；在$ x=2 $处取得最小值，最小值为$ -7 $。
(3)由图5-3可知，函数$ f(x) $在$ [-1,1] $上是减函数，在$ x=-1 $处取得最大值，最大值为$ 20 $；在$ x=1 $处取得最小值，最小值为$ -4 $。