《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

已知某个一元二次不等式恒成立, 求式子中某些参数的范围是常考的题型之一, 主要有以下方法:
(1) 利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在 $\mathbf{R}$ 上的恒成立问题。
当未说明不等式为一元二次不等式时, 有
① 不等式 $ax^2 + bx + c ＞ 0$ 对任意实数 $x$ 恒成立 $\Leftrightarrow \begin{cases} a = b = 0, \\ c ＞ 0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} a ＞ 0, \\ \Delta ＜ 0. \end{cases}$
② 不等式 $ax^2 + bx + c ＜ 0$ 对任意实数 $x$ 恒成立 $\Leftrightarrow \begin{cases} a = b = 0, \\ c ＜ 0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} a ＜ 0, \\ \Delta ＜ 0. \end{cases}$
(2) 分离自变量和参变量, 利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题。
通过等价变换, 将参变量从整体中分离出来, 转化为 $f(x) ＞ a (＜ a, 或 \geqslant a, 或 \leqslant a)$ 恒成立问题:
① 若 $f(x)$ 在定义域内存在最大值 $m$, 则 $f(x) ＜ a$ (或 $f(x) \leqslant a$) 恒成立 $\Leftrightarrow a ＞ m$ (或 $a \geqslant m$);
② 若 $f(x)$ 在定义域内存在最小值 $m$, 则 $f(x) ＞ a$ (或 $f(x) \geqslant a$) 恒成立 $\Leftrightarrow a ＜ m$ (或 $a \leqslant m$)。

答案： 答题卡作答：
(1) 对于不等式 $ax^2 + bx + c ＞ 0$ 恒成立：
$\begin{cases} 若 a = 0, 则需 b = 0, c ＞ 0; \\ 若 a \neq 0, 则需 a ＞ 0 且 \Delta = b^2 - 4ac ＜ 0\end{cases}$
对于不等式 $ax^2 + bx + c ＜ 0$ 恒成立：
$\begin{cases} 若 a = 0, 则需 b = 0, c ＜ 0; \\ 若 a \neq 0, 则需 a ＜ 0 且 \Delta = b^2 - 4ac ＜ 0\end{cases}$
(2) 对于 $f(x) ＞ a$（或 $f(x) \geqslant a$）恒成立：
若 $f(x)$ 存在最小值 $m$，则 $a ＜ m$（或 $a \leqslant m$）。
对于 $f(x) ＜ a$（或 $f(x) \leqslant a$）恒成立：
若 $f(x)$ 存在最大值 $M$，则 $a ＞ M$（或 $a \geqslant M$）。

最高次项的次数高于 $2$ 的不等式称为高次不等式。解一元高次不等式的基本思想方法是“化归”, 即将高次不等式转化为低次不等式来求解 (通过因式分解, 化归为若干个因子, 每个因子常常是一次或二次多项式)。常见的方法有:
$a = 0$ 时, 不等式的解集为 $\{x | x ＞ 1\}$; 当 $0 ＜ a ＜ 1$ 时, 不等式的解集为 $\left\{x \left| 1 ＜ x ＜ \frac{1}{a}\right.\right\}$; 当 $a = 1$ 时, 不等式的解集为 $\varnothing$; 当 $a ＞ 1$ 时, 不等式的解集为 $\left\{x \left| \frac{1}{a} ＜ x ＜ 1\right.\right\}$。
注意 (1) 二次项系数不为 $0$, 是作为二次不等式的前提。(2) 能十字相乘求根, 说明判别式 $\Delta ＞ 0$。

答案： 答案略

例2
(1) 在 $\mathbf{R}$ 上定义运算 $\otimes: x \otimes y = x(1 - y)$, 若不等式 $(x - a) \otimes (x + a) ＜ 1$ 对任意实数 $x$ 恒成立, 则()。
A. $-1 ＜ a ＜ 1$
B. $0 ＜ a ＜ 2$
C. $-\frac{1}{2} ＜ a ＜ \frac{3}{2}$
D. $-\frac{3}{2} ＜ a ＜ \frac{1}{2}$
(2) 已知关于 $x$ 的不等式 $(m^2 + 4m - 5)x^2 - 4(m - 1) · x + 3 ＞ 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立, 则实数 $m$ 的取值范围为。

答案： 解
(1) 由题意, 不等式 $(x - a) \otimes (x + a) ＜ 1$ 可变形为 $(x - a)(1 - x - a) ＜ 1$, $\therefore x^2 - x - a^2 + a + 1 ＞ 0$。要使 $x^2 - x - a^2 + a + 1 ＞ 0$ 恒成立, 则 $\Delta = (-1)^2 - 4(-a^2 + a + 1) ＜ 0$, 即 $4a^2 - 4a - 3 ＜ 0$, $\therefore -\frac{1}{2} ＜ a ＜ \frac{3}{2}$。
(2) ① 当 $m^2 + 4m - 5 = 0$, 即 $m = 1$ 或 $m = -5$ 时, 显然 $m = 1$ 符合条件, $m = -5$ 不符合条件。② 当 $m^2 + 4m - 5 \neq 0$ 时, 由二次函数对一切实数 $x$ 恒为正数, 得 $\begin{cases} m^2 + 4m - 5 ＞ 0, \\ \Delta = 16(m - 1)^2 - 12(m^2 + 4m - 5) ＜ 0, \end{cases}$ 解得 $1 ＜ m ＜ 19$。综合①②得实数 $m$ 的取值范围为 $1 \leqslant m ＜ 19$。
答
(1) C
(2) $\{m | 1 \leqslant m ＜ 19\}$

例3-1

答案：
解下列不等式:
(1) $\frac{x^2 + 2x - 3}{-x^2 + x + 6} ＜ 0$;
(2) $\frac{x^2 + 2x - 2}{3 + 2x - x^2} ＜ x$。
答
(1) 将原不等式化为 $\frac{(x + 3)(x - 1)}{(x + 2)(x - 3)} ＞ 0$, 又将其等价变形为 $(x + 3)(x + 2)(x - 1) ·$
(1) 不等式组法
将高次不等式 $f(x) ＞ 0 (＜ 0)$ 中的多项式 $f(x)$ 分解成若干个不可约因式的乘积, 然后利用不等式的性质将高次不等式等价转化为一个或多个一元一次或一元二次不等式组, 原不等式的解集就是各不等式组解集的并集。
(2) 列表法
解题步骤如下:
① 将不等式化为一端为 $0$, 另一端为若干个因式 (一次因式或二次不可约因式) 乘积的形式 (各因式中 $x$ 最高次数的项的系数符号化为 “$+$”), 求出相应方程的各根;
② 根据不等式对应方程的各根, 把实数集 $\mathbf{R}$ 分成几部分, 按各部分的端点值的大小横向排列 (由小到大), 相应各因式纵向排列 (由对应较小根的因式开始依次自上而下排列);
③ 计算各范围内各因式的符号, 在最下面一行写各因式乘积的符号;
④ 由最下面一行积的符号写出不等式的解集。
注意, 若不等式的不等号为 “$\geqslant$” 或 “$\leqslant$”, 解集边界处应有等号。
(3) 穿根引线法 (零点分段法)
用穿根引线法解一元高次不等式非常方便, 因此应熟练掌握。其解题步骤如下:
① 分解因式, 将不等式转化为一端为 $0$, 另一端为若干个因式 (一次或二次不可约因式) 的乘积的形式, 并将各因式中 $x$ 最高次数的项的系数的符号化为 “$+$”。
② 求各因式对应方程的根, 并在数轴上表示出来。
③ 由数轴右上方穿线, 经过数轴上表示各根的点。穿线时要遵循 “奇穿偶不穿” 的原则 (即某个因式是奇数次时, 就从数轴的一侧穿到数轴的另一侧; 某个因式是偶数次时, 则不穿过数轴)。
④ 若不等式 ($x$ 最高次数的项的系数符号化为 “$+$” 后) 的右边是 “$＞ 0$”, 则找 “线” 在数轴上方部分对应的 $x$ 的取值范围; 若不等式的右边是
$(x - 3) ＞ 0$。令 $y = (x + 3)(x + 2)(x - 1)(x - 3)$, 则方程 $y = 0$ 的实根为 $-3, -2, 1, 3$, 画出示意图如图 3-3-1 所示, 所以不等式的解集为 $\{x | x ＜ -3 或 -2 ＜ x ＜ 1 或 x ＞ 3\}$。
(2) 移项整理, 将原不等式化为 $\frac{(x - 2)(x^2 + x + 1)}{(x - 3)(x + 1)} ＞ 0$。
由 $x^2 + x + 1 ＞ 0$ 恒成立知原不等式等价于 $\frac{x - 2}{(x - 3)(x + 1)} ＞ 0$, 即 $(x + 1)(x - 2)(x - 3) ＞ 0$。把方程 $(x + 1)(x - 2)(x - 3) = 0$ 的三个根 $x_1 = -1, x_2 = 2, x_3 = 3$ 标在数轴上, 然后从右上方开始画线, 顺次经过三个根, 其解集如图 3-3-2 所示中的阴影部分, 所以原不等式的解集为 $\{x | -1 ＜ x ＜ 2 或 x ＞ 3\}$。