《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1 2024·天津南开中学期中
若集合$A=\{-\frac{1}{3},\frac{1}{2}\}$,$B=\{x|mx=1\}$,且$B\subseteq A$,则实数m的值为()。

A.2
B.-3
C.2或-3
D.2或-3或0
错解 由$mx=1$,得$x=\frac{1}{m}$。$\because B\subseteq A$,$\therefore \frac{1}{m}=-\frac{1}{3}$或$\frac{1}{2}$,故$m=-3$或2。故选C。
错因分析 忽视了$m=0$时$B=\varnothing$的可能。
正解 $\because B\subseteq A$,$A=\{-\frac{1}{3},\frac{1}{2}\}$,$\therefore B=\varnothing$或$B=\{-\frac{1}{3}\}$或$B=\{\frac{1}{2}\}$。
①当$B=\{x|mx=1\}=\varnothing$时,$m=0$;
②当$B=\{x|mx=1\}=\{-\frac{1}{3}\}$时,$\frac{1}{m}=-\frac{1}{3}$,可得$m=-3$;
③当$B=\{x|mx=1\}=\{\frac{1}{2}\}$时,$\frac{1}{m}=\frac{1}{2}$,可得$m=2$。
综上所述,实数m的值为0或-3或2。故选D。
答 D
满分策略 集合间的关系比较抽象,常与方程、函数、不等式等知识联系在一起,在解这类问题时不要忽视空集的存在。
在求解集合问题时注意以下两点:
①空集是任何集合的子集,其中“任何集合”也包括了$\varnothing$,故$\varnothing \subseteq \varnothing$。
②空集是任何非空集合的真子集,即$\varnothing \subsetneqq A$($A\neq \varnothing$)。

答案： D

例2
已知集合$A=\{x|x\geq 4$或$x＜-5\}$,$B=\{x|a+1\leq x\leq a+3,a\in \mathbf{R}\}$,若$B\subseteq A$,则a的取值范围为。
错解 利用数轴表示$B\subseteq A$,如图1-2-10所示,
则$a+3\leq -5$或$a+1\geq 4$,解得$a\leq -8$或$a\geq 3$。故填$\{a|a\leq -8$或$a\geq 3\}$。
错因分析 求解过程中因忽略考虑等号能否成立,错误地得到$a+3\leq -5$或$a+1\geq 4$,解得$a\leq -8$或$a\geq 3$。
事实上,在求出$a\leq -8$或$a\geq 3$后也可以直接将端点值回代,看是否符合题意,进而进行适当取舍即可。当$a=-8$时,不符合题意,舍去;当$a=3$时,符合题意,故正确结果应为$a＜-8$或$a\geq 3$。
正解 利用数轴表示$B\subseteq A$,如图1-2-11所示,
则$a+3＜-5$或$a+1\geq 4$,解得$a＜-8$或$a\geq 3$。

答案：
答 $\{a|a＜-8$或$a\geq 3\}$
满分策略 由$A\subseteq B$,$A\subsetneqq B$,$A=B$确定集合中参数的值(或取值范围)是集合间关系的重要应用,常与方程(组)、不等式(组)综合考查。
已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,尤其需注意端点值能否取到。