《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

变式 答案见P408
(1)定义区间[x1,x](x1＜x)的长度为x−
x1o已知函数y=2x|的定义域为[a,b],值
域为[1,2],则区间[a,b]的长度的最大值
与最小值的差为()。
A.$\frac{1}{2}$ B.1 C.$\frac{3}{2}$ D.2
(2)若直线y=2a与函数y=la²−1l+1(a＞
0,a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值
范围是。

答案：
(1)
函数$y=2^{|x|}$为偶函数，当$x\geq0$时$y=2^x$（增函数），当$x＜0$时$y=2^{-x}$（减函数），最小值为$1$（$x=0$时）。令$2^{|x|}=2$，得$|x|=1$，即$x=\pm1$。
值域$[1,2]$对应定义域区间：
最小长度：$[0,1]$或$[-1,0]$，长度为$1$；
最大长度：$[-1,1]$，长度为$2$。
最大值与最小值的差为$2-1=1$。
答案：B
(2)
函数$y=|a^x - 1| + 1$，直线$y=2a$。
当$0 ＜ a ＜ 1$时，$y=\begin{cases}2 - a^x, & x ＞ 0 \\ a^x, & x \leq 0\end{cases}$，需$2a \in (1,2)$，即$a \in (\frac{1}{2},1)$；
当$a ＞ 1$时，$y=\begin{cases}a^x, & x \geq 0 \\ 2 - a^x, & x ＜ 0\end{cases}$，$2a ＞ 2$，直线与图像只有一个交点。
综上，$a$的取值范围是$(\frac{1}{2},1)$。
答案：$(\frac{1}{2},1)$

例42024.天津市实验中学期中
(1)函数∮(x)=($\frac{1}{2}$}x²−2x−3的单调递减区间
是。
(2)已知函数y=($\frac{1}{2}$}ax²−2x−3在区间(−1,2)
上单调递增，则实数a的取值范围
是。
(3)写出一个同时具有下列三个性质的函
数;∮(x)=。
①函数g(x)=f(x)−1为指数函数;②f(x)
单调递增;③∮(1)＞3。
(2)解决形如y=α")的函数单调性问题时,一定要根据α的值分清底数a＞1还是0＜a＜1,如果底数α是字母,那么其值是不确定的,要分α＞1 和0＜a＜1两种情况分类讨论。
y=af)的单调性如下:

y=aa"＞在1R时上，↗ 在在[[ac,,db]]上上↗⇒=uyy=f==(aax)xx))在在[[ca,,db]]上上↗
y0=a＜"a在＜1R时上， 在在[[ac,,db]]上上↗↘=⇒uyy=f==(aaxf()xx))在在[[ac,,db]]上上↗
D解题通法
解决与指数函数有关的函数的
单调性问题的一般方法
由于指数函数的单调性与底数有关,因此讨
论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1
的大小关系。与指数函数有关的函数的单调
性也往往与底数有关，其解决方法一般是利
用函数单调性的定义。
特别地,(1)对于形如∮(x)=ag(x)(a＞0,a≠1)的
函数,可以利用复合函数的单调性，转化为指
数函数y=a'及函数t=g(x)的单调性来处
理。(2)对于形如y=f(a)的复合函数,可令
a龙=t,利用内层函数t=ax及外层函数y=
f(t)的单调性来处理。

答案：
(1) 函数$ f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 - 2x - 3} $为复合函数，外层函数$ y=\left(\frac{1}{2}\right)^u $（$ 0＜\frac{1}{2}＜1 $）单调递减。根据复合函数“同增异减”原则，要使$ f(x) $单调递减，需内层函数$ u=x^2 - 2x - 3 $单调递增。
内层函数$ u=x^2 - 2x - 3 $的对称轴为$ x=1 $，开口向上，单调递增区间为$[1, +\infty)$。
故单调递减区间是$[1, +\infty)$。
(2) 函数$ y=\left(\frac{1}{2}\right)^{ax^2 - 2x - 3} $外层为$ y=\left(\frac{1}{2}\right)^u $（单调递减），复合函数在$(-1,2)$上递增，则内层$ u=ax^2 - 2x - 3 $在$(-1,2)$上需单调递减。
$ a=0 $时，$ u=-2x - 3 $（一次函数，斜率$-2＜0$），在$\mathbb{R}$上递减，符合；
$ a＞0 $时，对称轴$ x=\frac{1}{a} $，开口向上，需$\frac{1}{a} \geq 2$，即$ 0＜a \leq \frac{1}{2} $；
$ a＜0 $时，对称轴$ x=\frac{1}{a} $，开口向下，需$\frac{1}{a} \leq -1$，即$-1 \leq a＜0$。
综上，$ a \in [-1, \frac{1}{2}] $。
(3) 由①设$ f(x)=b^x + 1 $（$ b＞0,b≠1 $）；由②得$ b＞1 $；由③得$ b + 1＞3 \Rightarrow b＞2 $。取$ b=3 $，则$ f(x)=3^x + 1 $。
答案
(1) $[1, +\infty)$
(2) $[-1, \frac{1}{2}]$
(3) $3^x + 1$（答案不唯一）