《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

4.(2024.湖南益阳期末.

答案： 答题卡作答：
设函数$y = (\frac{1}{2})^{2x^{2} - 3x + 1}$，令$t = 2x^{2} - 3x + 1$，则$y = (\frac{1}{2})^{t}$。
对于二次函数$t = 2x^{2} - 3x + 1$，其对称轴为$x = \frac{3}{4}$。
根据二次函数性质，当$x ＜ \frac{3}{4}$时，$t$单调递减；当$x ＞ \frac{3}{4}$时，$t$单调递增。
又因为函数$y = (\frac{1}{2})^{t}$在$R$上单调递减。
根据复合函数“同增异减”原则，当$t$单调递减时，$y$单调递增；当$t$单调递增时，$y$单调递减。
所以函数$y = (\frac{1}{2})^{2x^{2} - 3x + 1}$的单调递增区间为$(-\infty,\frac{3}{4})$，单调递减区间为$(\frac{3}{4},+\infty)$。

(x−a)(x−b)(a＞b)的图
像如图6−2−12所示,则
函数g(x)=ax+b的图像
大致为()。

答案： 1. 由二次函数$f(x)=(x-a)(x-b)(a ＞ b)$图像开口向上（二次项系数为1＞0），零点为$x=a$和$x=b$，且$a ＞ b$。
2. 图像显示$f(0)=ab ＜ 0$（x=0时函数值在x轴下方），故$a$与$b$异号，结合$a ＞ b$得$a ＞ 0 ＞ b$。
3. 由图像零点位置推断：$0 ＜ a ＜ 1$（正零点在(0,1)间），$-1 ＜ b ＜ 0$（负零点在(-1,0)间）。
4. 对$g(x)=a^x + b$：
$0 ＜ a ＜ 1$，指数函数$a^x$为减函数，故$g(x)$为减函数；
$x=0$时，$g(0)=a^0 + b=1 + b$，由$-1 ＜ b ＜ 0$得$0 ＜ 1 + b ＜ 1$（y轴截距在(0,1)间）；
$x→+∞$时，$a^x→0$，$g(x)→b$（趋近负常数）。
A

5.(知识点1)若函数y=(k+2)a²+2−b(a＞
0,a≠1)是指数函数,则k=,b=
。

答案： 要使函数$y=(k + 2)a^x + 2 - b$（$a＞0$，$a≠1$）是指数函数，根据指数函数的定义$y=a^x$（$a＞0$，$a≠1$），需满足：
1. 系数为$1$：$k + 2 = 1$，解得$k=-1$；
2. 常数项为$0$：$2 - b = 0$，解得$b=2$。
$k=-1$，$b=2$

6.(2024.山西大同一中月考.知识点2)已
知指数函数f(x)=(2a−1),且f(−3)＞f(−2),则实数a的取值范围是。

答案： 由题意知$f(x)=(2a - 1)^x$为指数函数，根据指数函数定义，底数大于$0$且不等于$1$，则有$2a - 1＞0$且$2a - 1\neq1$，即$a＞\frac{1}{2}$且$a\neq1$。
因为$f(-3)＞f(-2)$，即指数函数$y = b^x$（$b = 2a - 1$），当指数为$-3$和$-2$时，函数值满足$f(-3)＞f(-2)$，说明该指数函数在$R$上是减函数。
对于指数函数$y = b^x$，当$0 ＜ b＜1$时，函数在$R$上单调递减，所以$0＜2a - 1＜1$。
解不等式$0＜2a - 1＜1$：
由$2a - 1＞0$得$2a＞1$，$a＞\frac{1}{2}$；
由$2a - 1＜1$得$2a＜2$，$a＜1$。
综合可得$\frac{1}{2}＜a＜1$。
故实数$a$的取值范围是$(\frac{1}{2},1)$。

1.(2024.江西南昌二中高一月考.能力点2)
函数f(x)= $\sqrt{1−2}$+$\frac{1}{\sqrt{x+3}}$的定义域为()。

A.(−3,0]
B.(−3,1]
C.(−∞,−3)U(−3,0]
D.(−∞,−3)U(−3,1]

答案： A

2.(2024.江苏灌云高级中学高一期末.能力
点2)已知函数∮(x)=4²−2+1+4,x∈[−1,1],则函数y=∮(x)的值域为()。
6 A.[3,+∞) B.[3,4]
c.[3,$\frac{13}{4}$] D.[$\frac{13}{4}$,4|

答案： B

3.(能力点1)若a=0.80.8,b=0.80.9,c=
1.208,则()。

A.c＜b＜a
B.c＜a＜b
C.b＜a＜c
D.a＜b＜c

答案： C

4.(2024.江西南昌外国语学校高一下月考.

答案： 答案略

$\sqrt{x²+2x}$
{$\frac{1}{4}$} ,下列说法正确的是()。

A.f(x)的定义域为(−∞，−2]U[0,+∞)
B.∮(x)的值域为[1,+∞)
C.f(x)是偶函数
D.f(x)在(−∞，−1]上单调递减

答案： A

5.(2024.湖北华师一附中期中.能力2，4，
5)(多选)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号，用其名字命名的高斯函数:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数。例:[−3.5]=−4,[2.1]=2。已知函数∮(x)=$\frac{e−1}{e²+1}$,函数g(x)=[f(x)],下列结论正确的是()。

A.∮(x)在R上是增函数
B.g(x)是偶函数
C.A(x)是奇函数
D.g(x)的值域是−1,0}

答案： ACD

6.(2024.浙江杭州期中.能力点3)已知函
数∮(x)=ax−4+2(a＞0,a≠1)过定点A,且点A的坐标满足关于x,y的方程mx+ny−
mn=0(m＞0,n＞0),则点A的坐标为;m+n的最小值为。

答案： (4,3);7+4√3
解析：
1. 求定点A的坐标：对于函数$f(x)=a^{x-4}+2$，令指数部分$x-4=0$，即$x=4$，此时$f(4)=a^0+2=1+2=3$，故定点$A(4,3)$。
2. 求$m+n$的最小值：将$A(4,3)$代入方程$mx+ny-mn=0$，得$4m+3n-mn=0$，整理为$4m+3n=mn$。两边同除以$mn$（$m,n＞0$），得$\frac{3}{m}+\frac{4}{n}=1$。则$m+n=(m+n)\left(\frac{3}{m}+\frac{4}{n}\right)=7+\frac{4m}{n}+\frac{3n}{m}$。由基本不等式$\frac{4m}{n}+\frac{3n}{m}\geq2\sqrt{\frac{4m}{n}·\frac{3n}{m}}=4\sqrt{3}$，当且仅当$\frac{4m}{n}=\frac{3n}{m}$时等号成立，故$m+n\geq7+4\sqrt{3}$，最小值为$7+4\sqrt{3}$。