《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

4.(2024.北京东城区期末.知识点2)已知
a＞0,则a+$\frac{4−a}{a}$的最小值为()。

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： B

5.(知识点3)现有一台不等臂的天平,它有左、
右两个托盘,若同一个物体放在左、右托盘各测一次,所得的质量分别是a,b(单位:g),则下列关于物体的真实质量m表述正确的是()。

A.m＜√ab
B.m＞$\frac{a+b}{2}$
C.m＜$\frac{a+b}{2}$
D.m＞√ab

答案： C

6.(2024.江苏沛县湖西中学高一上期末.知
识点2,3)(多选)已知a＞0,b＞0,且a+b=
1,则()。

A.a²+b²≥$\frac{1}{2}$
B.√ab≥$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$＞4
D.√a+√b≤√2

答案： AD

1.(2024.山西太原五中月考.能力点1)若
−4＜x＜1,则当$\frac{x²−2x+2}{2x−2}$取最大值时x的值为()。

A.−3
B.−2
C.−1
D.0

答案： D

2.(能力点1)已知实数a＞0,b＞0,$\frac{1}{a+1}$+$\frac{1}{b+1}$=
1,则a+2b的最小值是()。

A.3√2
B.2√2
C.3
D.2

答案： B

3.(2024.吉林东北师大附中期中.能力点1，
4)设x∈R,对于使−x²+2x≤M成立的所有
常数M中,我们把M的最小值叫作−x²+2x
的上确界。若a＞0,b＞0,且α+b=1,则−$\frac{1}{2a}$−
$\frac{2}{b}$的上确界为()。

A.−5
B.−4
C.$\frac{9}{2}$
D.−$\frac{9}{2}$

答案： D

4.(2024.上海复旦附中月考.能力点1,4)
(多选)若m＞0,n＞0,且3m+n=1,则
()。

A.mn的最大值为$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{m}$+$\frac{m}{n}$的最小值为5
C.$\frac{1}{m+1}$+$\frac{2}{n+2}$的最小值为$\frac{1}{6}$(5+2√6)
D.9m²+n²的最大值为$\frac{1}{2}$

答案： ABC

5.(2024.辽宁省实验中学期中.能力点4)
(多选)若a,b为正数,则()。

A.$\frac{2ab}{a+b}$≥√ab
B.当$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=2时,a+b≥2
C.当a+b=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$时,a+b≥2
2
D.当a+b=1时，$\frac{a?}{1+a}$+$\frac{b}{1+6}$≥$\frac{1}{3}$

答案： BCD

6.(2024.江苏常州高一期中.能力点1，4)
已知a,b为非负数,且满足2a+b=6,则
(1+a²)(4+b²)的最大值为。 章3

答案： 要解决已知$a,b$为非负数且$2a + b = 6$，求$(1 + a^2)(4 + b^2)$的最大值，步骤如下：
步骤1：换元转化
设$x = 2a$，$y = b$，则$x + y = 6$（$x,y \geq 0$），且$a = \frac{x}{2}$。代入目标式：
$(1 + a^2)(4 + b^2) = \left(1 + \left(\frac{x}{2}\right)^2\right)(4 + y^2)$
展开并化简：
$= \left(1 + \frac{x^2}{4}\right)(4 + y^2) = 4 + y^2 + x^2 + \frac{x^2y^2}{4}$
步骤2：引入变量$t = xy$
由$x + y = 6$，得$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 36 - 2t$（其中$t = xy$）。代入上式：
$4 + (36 - 2t) + \frac{t^2}{4} = 40 - 2t + \frac{t^2}{4}$
令$f(t) = \frac{t^2}{4} - 2t + 40$，转化为求$f(t)$的最大值。
步骤3：确定$t$的范围
由基本不等式$xy \leq \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 = 9$（当$x = y = 3$时取等号），得$t \in [0, 9]$。
步骤4：求二次函数最大值
$f(t) = \frac{1}{4}t^2 - 2t + 40$是开口向上的二次函数，对称轴$t = 4$。在$[0, 9]$上，最大值在端点$t = 9$处取得：
$f(9) = \frac{1}{4} × 9^2 - 2 × 9 + 40 = \frac{81}{4} - 18 + 40 = \frac{169}{4}$
结论
$(1 + a^2)(4 + b^2)$的最大值为$\frac{169}{4}$。
$\boxed{\frac{169}{4}}$