《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

[例]比较下列各组数的大小:
①sin$\frac{10}{17}$π与sin$\frac{11}{17}$π;
②cos$\frac{5π}{3}$与.cos$\frac{14π}{9}$;
③tan$\frac{13π}{4}$与tan$\frac{17π}{5}$。
[解]构造函数→研究单调性→比较大小
[答]①∵函数y=sinx在$\frac{A}{2}$,π|上单调递减,
且$\frac{1}{2}$＜$\frac{10}{17}$$\frac{11}{17}$∴sin$\frac{10}{17}$π＞sin$\frac{11}{17}$πo
在R上单调递减,因此由复合函数的单调性
可知,求函数y=2sin$\frac{1}{3}$−2x)+1的单调递
增区间,即求$\frac{A}{2}$+2kπ≤$\frac{H}{3}$−2x≤$\frac{3π}{2}$+2kπ,
k∈Z的解集。

答案： 解得−$\frac{7π}{12}$−kπ≤x≤−$\frac{A}{12}$−kπ,k∈Z ①,
由k的任意性可知,①式等价于kπ+$\frac{5π}{12}$≤
x≤kπ+$\frac{11π}{12}$,k∈Z。所以函数y=
2sin($\frac{1}{3}$−2x{+1的单调递增区间为
[kπ+$\frac{5π}{12}$,kπ+$\frac{11π}{12}$],keZ.
答[kπ+$\frac{5π}{12}$,kπ+$\frac{11π}{12}$],keZ
方法总结
形如y=Asin(wx+)的三角函数的单调区
间问题，当A＞0,∞＜0时，可先用诱导公式
转化为y=−Asin(−wx−p),则y=
Asin(−wx−φ)的单调递增区间即为原函数
的单调递减区间,单调递减区间即为原函数
的单调递增区间。当A＞0,∞＞0时,写出基
本函数y=sinx的相应单调区间,将“仞x+
”视为整体,替换基本函数的单调区间(用
不等式表示)中的“x”,解关于x的不等式，
写成区间的形式。
例4−2
比较下列各组数的大小。
(1)coSs(−$\frac{7π}{8}${与cos$\frac{6π}{7}$;
(2)cos870°与sin980°;
(3)sin(Ssin$\frac{3π}{8}$)与sinlαo$\frac{3π}{8}$)o
答
(1)cos(−$\frac{7π}{8}$)=coS$\frac{7π}{8}$,因为0＜$\frac{6π}{7}$＜
$\frac{7π}{8}$＜π,y=cosx在(0,π)上是减函数,所以
COS$\frac{7π}{8}$＜cos$\frac{6π}{7}$,所以cos(−$\frac{7π}{8}${＜coS$\frac{6π}{7}$。
②cos$\frac{5π}{3}$=(cos{2π−$\frac{A}{3}$)=c0$\frac{H}{3}$,
COS$\frac{14π}{9}$=cos(2π−$\frac{4T}{9}$)=c0s$\frac{4π}{9}$。
∵函数y=cosx在[0,π]上单调递减,且0＜
$\frac{1}{3}$＜$\frac{4π}{9}$＜π,
∴COS$\frac{1}{3}$＞cOS$\frac{4π}{9}$,即cos$\frac{5π}{3}$＞
COS$\frac{14π}{9}$。
③tan$\frac{13π}{4}$=tan$\frac{1}{4}$,tan$\frac{17π}{5}$=tan$\frac{2}{5}$。
∵0＜$\frac{1}{4}$＜$\frac{2π}{5}$＜$\frac{A}{2}$,且y=tanx在[0,$\frac{A}{2}${上单调递增,
∴tan$\frac{H}{4}$＜tan$\frac{2π}{5}$,即tan$\frac{13π}{4}$＜tan$\frac{17π}{5}$。