《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

【例】已知$f(x + 2) = -\frac{1}{f(x)}$，求证：$f(x)$是周期函数，并求出它的一个周期。
答 $\because f(x + 2) = -\frac{1}{f(x)}$，$\therefore f(x + 4) =$
$-\frac{1}{f(x + 2)} = -\frac{1}{-\frac{1}{f(x)}} = f(x)$，$\therefore f(x)$是周期函数，它的一个周期为4。

答案： 答：
由已知$f(x + 2) = -\frac{1}{f(x)}$，
则$f(x + 4)=-\frac{1}{f(x + 2)}$，
将$f(x + 2) = -\frac{1}{f(x)}$代入$f(x + 4)=-\frac{1}{f(x + 2)}$可得：
$f(x + 4)=-\frac{1}{-\frac{1}{f(x)}} = f(x)$，
根据周期函数的定义：对于函数$y = f(x)$，如果存在一个不为零的常数$T$，使得当$x$取定义域内的每一个值时，$f(x + T) = f(x)$都成立，那么就把函数$y = f(x)$叫做周期函数，周期为$T$，所以$f(x)$是周期函数，它的一个周期为$4$。

【例】设函数$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的最小正周期为$\frac{5\pi}{2}$的函数，且在$(-\pi, \pi]$上$f(x) = \begin{cases} \sin x & (0 \leq x \leq \pi), \\ \cos x & (-\pi ＜ x ＜ 0), \end{cases}$求$f\left( -\frac{11\pi}{4} \right)$的值。
答$f\left( -\frac{11\pi}{4} \right) = f\left( -\frac{11\pi}{4} + \frac{5\pi}{2} \right) = f\left( -\frac{\pi}{4} \right)$。因
为$-\pi ＜ -\frac{\pi}{4} ＜ 0$，所以$f\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \cos\left( -\frac{\pi}{4} \right) =$
$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$f\left( -\frac{11\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
点评 利用周期性与诱导公式将$-\frac{11\pi}{4}$转化为$\frac{\pi}{4}$，完成“大化小，负化正”的运算，再利用分段函数求解。

答案： $f\left(-\frac{11\pi}{4}\right)=f\left(-\frac{11\pi}{4}+2×\frac{5\pi}{2}\right)=f\left(-\frac{11\pi}{4}+5\pi\right)=f\left(\frac{9\pi}{4}\right)$，
$f\left(\frac{9\pi}{4}\right)=f\left(\frac{9\pi}{4}-2×\frac{5\pi}{2}\right)=f\left(\frac{9\pi}{4}-5\pi\right)=f\left(-\frac{11\pi}{4}+5\pi\right)$（此步可简化为直接加两个周期），
更简便：因为函数最小正周期为$\frac{5\pi}{2}$，所以$f\left(-\frac{11\pi}{4}\right)=f\left(-\frac{11\pi}{4}+2×\frac{5\pi}{2}\right)=f\left(-\frac{11\pi}{4}+5\pi\right)=f\left(\frac{9\pi}{4}\right)=f\left(\frac{9\pi}{4}-\frac{5\pi}{2}\right)=f\left(\frac{9\pi}{4}-\frac{10\pi}{4}\right)=f\left(-\frac{\pi}{4}\right)$，
因为$-\pi＜-\frac{\pi}{4}＜0$，所以$f\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故$f\left(-\frac{11\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

【例】定义在$\mathbb{R}$上的偶函数$f(x)$满足$f(x + 1) = -f(x)$，且在$[-4, -3]$上是增函数，$\alpha, \beta$是锐角三角形的两个内角，试比较$f(\sin \alpha)$与$f(\cos \beta)$的大小。
答 由函数$f(x)$是偶函数且在$[-4, -3]$上是增函数，得函数$f(x)$在$[3, 4]$上是减函数。
由$f(x + 1) = -f(x)$，得$f(x + 2) = -f(x + 1) = f(x)$，所以函数$f(x)$是周期函数，且2是它的一个周期。
$\therefore f(x)$是以$2(b - a)$为周期的周期函数。
(2) 由$f(x) = f(x - a) + f(x + a)$，①
得$f(x + a) = f(x) + f(x + 2a)$，②
① + ②得$f(x - a) + f(x + 2a) = 0$，③
即$f(x + 2a) + f(x + 5a) = 0$。④
③ - ④得$f(x - a) = f(x + 5a)$，
即$f(x) = f(x + 6a)$。
$\therefore f(x)$是以$6a$为周期的周期函数。

答案： 由$f(x+1)=-f(x)$，得$f(x+2)=-f(x+1)=f(x)$，故$f(x)$周期为2。
$f(x)$为偶函数，在$[-4,-3]$上增，则在对称区间$[3,4]$上减。周期为2，故$[-1,0]$（$[3,4]$左移4个单位）上单调性与$[3,4]$一致，为减函数；又偶函数在$[0,1]$上单调性与$[-1,0]$相反，故$[0,1]$上$f(x)$为增函数。
锐角三角形中，$\alpha+\beta＞\frac{\pi}{2}$，则$\alpha＞\frac{\pi}{2}-\beta$，且$\alpha,\frac{\pi}{2}-\beta\in(0,\frac{\pi}{2})$，故$\sin\alpha＞\sin(\frac{\pi}{2}-\beta)=\cos\beta$，且$\sin\alpha,\cos\beta\in(0,1)$。
$[0,1]$上$f(x)$增，$\sin\alpha＞\cos\beta$，则$f(\sin\alpha)＞f(\cos\beta)$。
结论：$f(\sin\alpha)＞f(\cos\beta)$

例3
已知函数$f(x) = a\sin\left(kx + \frac{\pi}{3}\right)$和$\varphi(x) =$
$b\tan\left(kx - \frac{\pi}{3}\right), k ＞ 0$，若它们的最小正周期的和为$\frac{3}{2}\pi$，且$f\left( \frac{\pi}{2} \right) = \varphi\left( \frac{\pi}{2} \right)$，$f\left( \frac{\pi}{4} \right) = -\sqrt{3}\varphi\left( \frac{\pi}{4} \right) + 1$，求$f(x)$和$\varphi(x)$的解析式。
答 $\because f(x)$的最小正周期为$\frac{2\pi}{k}$，$\varphi(x)$的最
小正周期为$\frac{\pi}{k}$，$\therefore \frac{2\pi}{k} + \frac{\pi}{k} = \frac{3}{2}\pi$，解得$k = 2$，
$\therefore f(x) = a\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$，
$\varphi(x) = b\tan\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$。
$\begin{cases} f\left( \frac{\pi}{2} \right) = \varphi\left( \frac{\pi}{2} \right), \\ f\left( \frac{\pi}{4} \right) = -\sqrt{3}\varphi\left( \frac{\pi}{4} \right) + 1, \end{cases}$
$\therefore a\sin \frac{4}{3}\pi = b\tan \frac{2}{3}\pi$，
$a\sin \frac{5}{6}\pi = -\sqrt{3}b\tan \frac{\pi}{6} + 1$，
$\begin{cases} -\frac{\sqrt{3}}{2}a = -\sqrt{3}b, \\ \frac{1}{2}a = -b + 1, \end{cases}$
$\therefore \begin{cases} a = 1, \\ b = \frac{1}{2}。 \end{cases}$
故$f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$，
$\varphi(x) = \frac{1}{2}\tan\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$。
点拨 因为周期公式中只有两个变量——$\omega$
和$T$，所以已知其中一个就能求出另一个。

答案： $\because f(x)=a\sin\left(kx + \frac{\pi}{3}\right)$的最小正周期为$\frac{2\pi}{k}$，$\varphi(x)=b\tan\left(kx - \frac{\pi}{3}\right)$的最小正周期为$\frac{\pi}{k}$，且$k＞0$，
$\therefore \frac{2\pi}{k} + \frac{\pi}{k} = \frac{3\pi}{2}$，解得$k=2$。
$\therefore f(x)=a\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$，$\varphi(x)=b\tan\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$。
由$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\varphi\left(\frac{\pi}{2}\right)$得：
$a\sin\left(2×\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right)=b\tan\left(2×\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$，
即$a\sin\frac{4\pi}{3}=b\tan\frac{2\pi}{3}$，
$\therefore a\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=b(-\sqrt{3})$，化简得$\frac{a}{2}=b$。
由$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{3}\varphi\left(\frac{\pi}{4}\right)+1$得：
$a\sin\left(2×\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}b\tan\left(2×\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3}\right)+1$，
即$a\sin\frac{5\pi}{6}=-\sqrt{3}b\tan\frac{\pi}{6}+1$，
$\therefore a×\frac{1}{2}=-\sqrt{3}b×\frac{\sqrt{3}}{3}+1$，化简得$\frac{a}{2}=-b + 1$。
联立$\begin{cases}\frac{a}{2}=b\\frac{a}{2}=-b + 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1\\b=\frac{1}{2}\end{cases}$。
故$f(x)=\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$，$\varphi(x)=\frac{1}{2}\tan\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$。