《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例2-3 在下列幂函数中，是偶函数且在$(0, +\infty)$上是增函数的是()。

A.$y = x^{-2}$
B.$y = x^{\frac{1}{2}}$
C.$y = x^{\frac{1}{3}}$
D.$y = x^{\frac{2}{3}}$

答案： 解 对于A，有$f(-x) = f(x)$，是偶函数，但在$(0, +\infty)$上单调递减，则A不满足题意；
对于B，定义域为$[0, +\infty)$，不关于原点对称，不具有奇偶性，则B不满足题意；
对于C，有$f(-x) = -f(x)$，为奇函数，则C不满足题意；
对于D，定义域为$\mathbb{R}$，关于原点对称，$f(-x) = f(x)$，为偶函数，且在$(0, +\infty)$上单调递增，则D满足题意。故选D。
答 D

例3-1 给定一组函数解析式：
① $y = x^{\frac{3}{4}}$;
② $y = x^{\frac{2}{3}}$;
③ $y = x^{-\frac{2}{3}}$;
④ $y = x^{-\frac{3}{2}}$;
⑤ $y = x^2$;
⑥ $y = x^{-\frac{1}{3}}$;
⑦ $y = x^{\frac{1}{3}}$和一组函数图像（如图6-1-2所示），请把图像对应的解析式的序号填在图下面的括号内。

答案：
解 先区分幂指数的正负。若是正指数，再与1比较大小，若是负指数，再区分奇偶性，就可找到图像对应的函数。观察前三个图像，若在第一象限内，函数值随$x$的增大而减小，则幂指数$\alpha$应小于零。其中第一个图像关于原点对称，第二个图像关于$y$轴对称，而第三个图像对应的函数的定义域为$(0, +\infty)$，所以第一个图像对应⑥$y = x^{-\frac{1}{3}}$，第二个图像对应④$y = x^{-\frac{2}{3}}$，第三个图像对应③$y = x^{-\frac{3}{2}}$。后四个图像都过$(0,0)$和$(1,1)$两点，故$\alpha ＞ 0$。第四个图像关于$y$轴对称，第五个图像关于原点对称，且它们对应的函数的定义域都是$\mathbb{R}$，所以第四个图像对应②$y = x^{\frac{2}{3}}$，第五个图像对应⑦$y = x^{\frac{1}{3}}$。最后两个图像对应的函数的定义域为$[0, +\infty)$，第六个图像呈上凸状，$\alpha$应小于1，第七个图像呈下凸状，$\alpha$应大于1，故第六个图像对应①$y = x^{\frac{3}{4}}$，第七个图像对应⑤$y = x^2$。


答 ⑥ ④ ③ ② ⑦ ① ⑤