《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知, 求一元二次不等式解集的步骤如下:
(1) 通过变形化成标准的一元二次不等式的形式 (要求二次项系数为正且右边为 $0$);
A. 不等式 $x^2 - 12x + 20 ＞ 0$ 的解集为 $\{x | x ＜ 2 或 x ＞ 10\}$
B. 不等式 $x^2 - 5x + 6 ＜ 0$ 的解集为 $\{x | 2 ＜ x ＜ 3\}$
C. 不等式 $9x^2 - 6x + 1 ＞ 0$ 的解集为 $\mathbf{R}$
D. 不等式 $-2x^2 + 2x - 3 ＞ 0$ 的解集为 $\varnothing$

答案： 解 对选项 A: 不等式 $x^2 - 12x + 20 ＞ 0$ 的解集为 $\{x | x ＜ 2 或 x ＞ 10\}$, 故 A 正确; 对选项 B: 不等式 $x^2 - 5x + 6 ＜ 0$ 的解集为 $\{x | 2 ＜ x ＜ 3\}$, 故 B 正确; 对选项 C: 不等式 $9x^2 - 6x + 1 ＞ 0$ 的解集为 $\left\{x \left| x \neq \frac{1}{3}\right.\right\}$, 故 C 错误; 对选项 D: 不等式 $-2x^2 + 2x - 3 ＞ 0$, 即 $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{5}{4} ＜ 0$, 解集为 $\varnothing$, 故 D 正确。故选 ABD。
答 ABD

例3

答案： 解下列不等式:
(1) $2x^2 + 7x + 3 ＞ 0$;
(2) $-\frac{1}{2}x^2 + 3x - 5 ＞ 0$。
答
(1) 因为 $\Delta = 7^2 - 4 × 2 × 3 = 25 ＞ 0$, 所以方程 $2x^2 + 7x + 3 = 0$ 有两个不等实根 $x_1 = -3, x_2 = -\frac{1}{2}$。又二次函数 $y = 2x^2 + 7x + 3$ 的图像开口向上, 所以原不等式的解集为 $\left\{x \left| x ＞ -\frac{1}{2} 或 x ＜ -3\right.\right\}$。
(2) 原不等式可化为 $x^2 - 6x + 10 ＜ 0$, 因为 $\Delta = (-6)^2 - 40 = -4 ＜ 0$, 所以方程 $x^2 - 6x + 10 = 0$ 无实根。又二次函数 $y = x^2 - 6x + 10$ 的图像开口向上, 所以原不等式的解集为 $\varnothing$。
(2) 求出相应的一元二次方程的根, 有三种情况: $\Delta = 0, \Delta ＜ 0$ 和 $\Delta ＞ 0$ (即求相应方程 $ax^2 + bx + c = 0 (a ＞ 0)$ 的根 $x_1, x_2$);
(3) 画出对应二次函数的草图;
(4) 结合图形求不等式的解集。
【辨析比较】
一元二次不等式的解与一元二次不等式的解集是部分与整体的关系, 不要将二者混淆, 如 $1$ 是 $x^2 + x ＞ 0$ 的一个解, 但 $x^2 + x ＞ 0$ 的解集是一个集合, 解集为 $\{x | x ＜ -1 或 x ＞ 0\}$, 也可以将解集写成区间的形式 $(-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$。