《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例3 广东高考
设整数$n\geq4$，集合$X=\{1,2,3,·s,n\}$。令集合$S=\{(x,y,z)|x,y,z\in X$，且三个条件$x＜y＜z$，$y＜z＜x$，$z＜x＜y$恰有一个成立$\}$。若$(x,y,z)$和$(z,w,x)$都在$S$中，则下列选项正确的是()。

A.$(y,z,w)\in S$，$(x,y,w)\notin S$
B.$(y,z,w)\in S$，$(x,y,w)\in S$
C.$(y,z,w)\notin S$，$(x,y,w)\in S$
D.$(y,z,w)\notin S$，$(x,y,w)\notin S$

答案： 解 方法一：题目中$x＜y＜z$，$y＜z＜x$，$z＜x＜y$恰有一个成立，说明$x,y,z$是互不相等的三个正整数，可用特殊值法求解，不妨取$x=1$，$y=2$，$z=3$，$w=4$，且$(2,3,4)\in S$，$(1,2,4)\in S$，从而$(y,z,w)\in S$，$(x,y,w)\in S$成立。
方法二：因为$(x,y,z)\in S$，所以$x,y,z$的大小关系有3种情况，同理，$z,w,x$的大小关系也有3种情况，如图1-1-3所示。由图可知$x,y,z,w$的大小关系有4种可能，均符合$(y,z,w)\in S$，$(x,y,w)\in S$。
答 B
答题模板

1. (2024·河南师大附中检测·知识点1)下列各组对象不能构成集合的是()。

A.上课迟到的学生
B.小于$\pi$的正整数
C.2023年高考数学试卷上的难题
D.所有有理数

答案： C

2. (2024·山东青岛二中月考·知识点2)已知集合$M$中的三个元素$a,b,c$分别是$\triangle ABC$的三边长，则$\triangle ABC$一定不是()。

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形

答案： D

3. (2024·江西师大附中检测·知识点4)(多选)下列关系中，正确的有()。

A.$\frac{1}{2}\in \mathbf{R}$
B.$\sqrt{2}\in \mathbf{Q}$
C.$-2\notin \mathbf{Z}$
D.$-\sqrt{2}\notin \mathbf{N}$

答案： AD

4. (2024·湖南长沙一中模考·知识点3，4)已知集合$M=\{x|x=\sqrt{2}a+\sqrt{3}b,a\in \mathbf{Z},b\in \mathbf{Z}\}$，则下列选项中错误的是()。

A.$\sqrt{2}\in M$
B.$\sqrt{3}\notin M$
C.$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\in M$
D.$\sqrt{5+2\sqrt{6}}\in M$

答案： B

5. (2024·广东深圳中学检测·知识点2，3)(多选)已知集合$M=\{1,m+2,m^2+4\}$，且$5\in M$，则$m$的可能取值有()。

A.1
B.-1
C.3
D.2

答案： AC

6. （知识点5）已知$M=\{a-3,2a-1,a^2+1\}$，$N=\{-2,4a-3,3a-1\}$，若$M=N$，则实数$a=$。

答案： 因为$M=N$，所以集合$M$与$N$元素完全相同，且元素互异。
情况一：$a - 3 = -2$
解得$a=1$。
此时$M=\{1 - 3, 2×1 - 1, 1^2 + 1\}=\{-2,1,2\}$，
$N=\{-2, 4×1 - 3, 3×1 - 1\}=\{-2,1,2\}$，
满足$M=N$且元素互异。
情况二：$2a - 1 = -2$
解得$a=-\frac{1}{2}$。
此时$M=\{-\frac{1}{2}-3, -2, (-\frac{1}{2})^2 + 1\}=\{-\frac{7}{2}, -2, \frac{5}{4}\}$，
$N=\{-2, 4×(-\frac{1}{2}) - 3, 3×(-\frac{1}{2}) - 1\}=\{-2, -5, -\frac{5}{2}\}$，
元素不相同，不满足$M=N$。
综上，$a=1$。
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