《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例3 2024·北京交大附中高一期中
为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元。该建筑物每年的能源消耗费用$P$（单位：万元）与隔热层厚度$x$（单位：cm）满足关系：$P=\frac {3m}{4x+5}(x\in \mathbf{R},0\leqslant x\leqslant 8)$。若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元。设$S$为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和。
（1）求$m$的值及用$x$表示$S$；
（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用$S$达到最小，并求最小值。

答案： 答 （1）设隔热层厚度为$x$，依题意，每年的能源消耗费用为$P=\frac {3m}{4x+5}$，而当$x=0$时，$P=9$，则$\frac {3m}{5}=9$，解得$m=15$，显然建造费用为$8x$，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为$S=40P+8x=40×\frac {45}{4x+5}+8x=\frac {1800}{4x+5}+8x(0\leqslant x\leqslant 8)$。
（2）由（1）知$S=\frac {1800}{4x+5}+8x=\frac {1800}{4x+5}+2(4x+5)-10\geqslant 2\sqrt {\frac {1800}{4x+5}· 2(4x+5)}-10=2×60-10=110$，当且仅当$\frac {1800}{4x+5}=2(4x+5)$，即$x=6.25$时取等号。所以当隔热层的厚度为$6.25\ cm$时，总费用$S$取得最小值110万元。