《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例3-1
若$a＞0,b＞0$，证明：$\frac {2}{\frac {1}{a}+\frac {1}{b}}\leqslant \sqrt {ab}\leqslant \frac {a+b}{2}\leqslant \sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}$。

答案： 答 （1）由$a＞0,b＞0$，得$\frac {\frac {1}{a}+\frac {1}{b}}{2}\geqslant \sqrt {\frac {1}{a}· \frac {1}{b}}=\frac {1}{\sqrt {ab}}$，$\therefore \frac {2}{\frac {1}{a}+\frac {1}{b}}\leqslant \sqrt {ab}$，当且仅当$a=b$时等号成立。
（2）$\sqrt {ab}\leqslant \frac {a+b}{2}$，当且仅当$a=b$时等号成立，已证（见教材）。
（3）$\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}-\frac {a+b}{2}=\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}-\sqrt {\frac {(a+b)^{2}}{4}}=\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+a^{2}+b^{2}}{4}}-\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+2ab}{4}}$，$\because a^{2}+b^{2}\geqslant 2ab$，当且仅当$a=b$时等号成立，$\therefore \sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}-\frac {a+b}{2}\geqslant 0$，$\therefore \sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\geqslant \frac {a+b}{2}$，当且仅当$a=b$时等号成立。
综上，$\frac {2}{\frac {1}{a}+\frac {1}{b}}\leqslant \sqrt {ab}\leqslant \frac {a+b}{2}\leqslant \sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}$得证。

例1-1 2024·北京人大附中期中
（1）函数$y=x(5-2x)(0＜x＜2)$的最大值是。
（2）函数$y=\frac {x^{2}+8}{x-1}(x＞1)$的最小值是。
（3）若$x,y$是正数，则$(x+\frac {1}{2y})^{2}+(y+\frac {1}{2x})^{2}$的最小值是。

答案： 解 （1）方法一：$y=x(5-2x)=\frac {1}{2}· 2x· (5-2x)$。$\because 0＜x＜2$，$\therefore 0＜2x＜4$，$1＜5-2x＜5$，$\therefore y\leqslant \frac {1}{2}×[\frac {2x+(5-2x)}{2}]^{2}=\frac {1}{2}×\frac {25}{4}=\frac {25}{8}$，当且仅当$2x=5-2x$，即$x=\frac {5}{4}$时取等号。故当$x=\frac {5}{4}$时，$y_{\max}=\frac {25}{8}$。
方法二：由$0＜x＜2$知$\frac {5}{2}-x＞0$，$\therefore y=2x(\frac {5}{2}-x)\leqslant 2[\frac {x+(\frac {5}{2}-x)}{2}]^{2}=\frac {25}{8}$，当且仅当$x=\frac {5}{2}-x$，即$x=\frac {5}{4}$时取等号。故当$x=\frac {5}{4}$时，$y_{\max}=\frac {25}{8}$。
（2）$y=\frac {x^{2}+8}{x-1}=\frac {(x^{2}-1)+9}{x-1}=x-1+\frac {9}{x-1}+2$，$\because x＞1$，$\therefore x-1＞0$，$\therefore y\geqslant 2\sqrt {(x-1)· \frac {9}{x-1}}+2=2×3+2=8$，当且仅当$x-1=\frac {9}{x-1}$，即$x=4$时取等号。故当$x=4$时，$y_{\min}=8$。
（3）$\because x,y$是正数，$\therefore (x+\frac {1}{2y})^{2}+(y+\frac {1}{2x})^{2}=x^{2}+\frac {x}{y}+(\frac {1}{2y})^{2}+y^{2}+\frac {y}{x}+(\frac {1}{2x})^{2}=[x^{2}+(\frac {1}{2x})^{2}]+[y^{2}+(\frac {1}{2y})^{2}]+(\frac {y}{x}+\frac {x}{y})\geqslant 2· x· \frac {1}{2x}+2· y· \frac {1}{2y}+2\sqrt {\frac {y}{x}· \frac {x}{y}}=4$，当且仅当$\left\{\begin{array}{l} x^{2}=\frac {1}{4x^{2}},\\ y^{2}=\frac {1}{4y^{2}},\\ \frac {y}{x}=\frac {x}{y},\end{array}\right.$即$x=y=\frac {\sqrt {2}}{2}$时取等号。故$(x+\frac {1}{2y})^{2}+(y+\frac {1}{2x})^{2}$的最小值为4。
答 （1）$\frac {25}{8}$ （2）8 （3）4