《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

易错1在使用诱导公式时对“把α看作锐例1角”理解不透彻而致错
已知cos(π+α)=m,α∈(π,$\frac{3π}{2}${,则sin(5π+α)=。
错解∵α=(π,$\frac{3π}{2}$),∴π+α∈(2π,$\frac{5π}{2}${,∴π+α是第一象限角，∴COS(π+α)=COSα=
m,∴sin(5π+α)=sin(π+α)=sinα=
−√1−cos²α=−√1−m²。
错因分析，在使用诱导公式时，符号错误。不论α角为何值,我们用诱导公式时,都将它看作“锐角”。
正解∵cos(π+α)=−c(sα=m,∴COSα=
−mo∵α∈(π,$\frac{3π}{2}${∴sinα=−√1−cos²α,∴sin(5π+α)=sin(π+α)=−sinα=
−(−√1−cos²α)=√1−m²。

答案： 答√1−m2
满分策略，使用诱导公式时，不用考虑α的实际范围，一律把它看作“锐角”。

易错2一些含参数的三角函数式进行化简或求值时忽略对参数的讨论而致错
例2
化简:sin$\frac{4n−1}{4}$Tr−{+cos($\frac{4n+1}{4}$π−α)(n∈
Z)。
错解sin$\frac{4n−1}{4}$π−α)+co{($\frac{4n+1}{4}$π−)
=sin|nπ−($\frac{1}{4}$+α」+cos[nπ+(($\frac{H}{4}$−{
=−sin($\frac{H}{4}$+)+cos$\frac{H}{4}$−α{
=−sin[$\frac{H}{2}$−($\frac{A}{4}$−α)」+c0o($\frac{H}{4}$−α)
=−cos$\frac{1}{4}$−)+cos($\frac{H}{4}$−α)=0。o
错因分析，当所求角中含有变量n∈Z时，需对
n转进化行过分程类中讨，要论注(n意分整为体奇思数想和的偶应数用)。。同时在
正解当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),则
原式=sin($\frac{8k−1}{4}$π−α{+c0os$\frac{8k+1}{4}$π−α)
=sin(−$\frac{H}{4}$−α)++c0os$\frac{A}{4}$−α)
=−sin($\frac{A}{4}$+α{+cos[$\frac{H}{2}$−($\frac{A}{4}$+α)]
=−sin($\frac{1}{4}$+α+sin($\frac{H}{4}$+α)=0
当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),则
原式=sin(8攵+3−α{+c0os$\frac{8k+5}{4}$π−α)
=Ssin$\frac{3π}{4}$−α{+co)S($\frac{5π}{4}$−α{
=sin[π−(($\frac{A}{4}$+α)」+co{[π+(($\frac{H}{4}$−α)]
=sin($\frac{H}{4}$+α)−cos($\frac{H}{4}$−α)
=sin($\frac{H}{4}$+α{−cos[$\frac{1}{2}$−($\frac{A}{4}$+α)]
=sin($\frac{1}{4}$+α)−sin($\frac{1}{4}$+α)=0。o
故sin($\frac{4n−1}{4}$π−{+c0o{4n+1π−α)=0。
满分策略(1)所求角中含有变量n(n∈Z)时，需对n的奇偶进行分类讨论,突出体现了分类讨论的思想;
(2)利用诱导公式,应该将角写成符合公式的
某种形式,这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看。

答案： 解：
原式可化为 $ \sin\left(n\pi - \frac{\pi}{4} - \alpha\right) + \cos\left(n\pi + \frac{\pi}{4} - \alpha\right) $，即 $ \sin\left[n\pi - \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\right] + \cos\left[n\pi + \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\right] $，$ n \in \mathbb{Z} $。
当 $ n $ 为偶数时，设 $ n = 2k $（$ k \in \mathbb{Z} $）：
第一个三角函数：$ \sin\left[2k\pi - \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\right] = -\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) $（诱导公式：$ \sin(2k\pi - \theta) = -\sin\theta $）；
第二个三角函数：$ \cos\left[2k\pi + \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\right] = \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) $（诱导公式：$ \cos(2k\pi + \theta) = \cos\theta $）。
又 $ \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos\left[\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\right] = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) $（诱导公式：$ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta $）。
故原式 $ = -\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = 0 $。
当 $ n $ 为奇数时，设 $ n = 2k + 1 $（$ k \in \mathbb{Z} $）：
第一个三角函数：$ \sin\left[(2k+1)\pi - \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\right] = \sin\left[\pi - \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\right] = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) $（诱导公式：$ \sin((2k+1)\pi - \theta) = \sin\theta $）；
第二个三角函数：$ \cos\left[(2k+1)\pi + \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\right] = -\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) $（诱导公式：$ \cos((2k+1)\pi + \theta) = -\cos\theta $）。
由前述，$ \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) $，故原式 $ = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = 0 $。
综上，无论 $ n $ 为奇数或偶数，原式均为 $ 0 $。
结论： $ \sin\left(\frac{4n - 1}{4}\pi - \alpha\right) + \cos\left(\frac{4n + 1}{4}\pi - \alpha\right) = 0 $。