《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

若函数 $f(x), g(x)$ 在区间 $I$ 上具有单调性，则在区间 $I$ 上具有以下性质：
(1) $f(x)$ 与 $f(x)+C$（$C$ 为常数）的单调性相同。
(2) 当 $a＞0$ 时，$f(x)$ 与 $a · f(x)$ 的单调性相同；当 $a＜0$ 时，$f(x)$ 与 $a · f(x)$ 的单调性相反。
(3) 当 $f(x)$ 恒为正值或恒为负值时，$f(x)$ 与 $\frac{1}{f(x)}$ 具有相反的单调性。
(4) 在 $f(x), g(x)$ 的公共单调区间上，有如下结论：

(5) 当 $f(x), g(x)$ 都是增（减）函数时，若两者都恒大于零，则 $f(x) · g(x)$ 也是增（减）函数；若两者都恒小于零，则 $f(x) · g(x)$ 是减（增）函数。

答案： 上述性质均正确

对于复合函数 $f(g(x))$，设 $t=g(x)$ 在 $(a,b)$ 上是单调函数，且 $y=f(t)$ 在 $(g(a), g(b))$ 或 $(g(b), g(a))$ 上也是单调函数，那么 $f(g(x))$ 在 $(a,b)$ 上的单调性如何呢？下面我们来探讨一下：
(1) 若 $t=g(x)$ 在 $(a,b)$ 上是增函数，且 $y=f(t)$ 也为增函数：
任取 $x_1, x_2 \in (a,b), x_1 ＜ x_2$，因为 $t=g(x)$ 在 $(a,b)$ 上是增函数，则 $g(x_1) ＜ g(x_2)$，又 $y=f(t)$ 也为增函数，则有 $f(g(x_1)) ＜ f(g(x_2))$，则根据增函数的定义知 $f(g(x))$ 在 $(a,b)$ 上为增函数。
(2) 若 $t=g(x)$ 在 $(a,b)$ 上是增函数，且 $y=f(t)$ 为减函数：
任取 $x_1, x_2 \in (a,b), x_1 ＜ x_2$，因为 $t=g(x)$ 在 $(a,b)$ 上是增函数，则 $g(x_1) ＜ g(x_2)$，又 $y=f(t)$ 为减函数，则有 $f(g(x_1)) ＞ f(g(x_2))$，则根据减函数的定义知 $f(g(x))$ 在 $(a,b)$ 上为减函数。
类似地，我们不难发现：当 $t=g(x)$ 在 $(a,b)$ 上是减函数，且 $y=f(t)$ 为增函数时，则 $f(g(x))$ 在 $(a,b)$ 上为减函数；当 $t=g(x)$ 在 $(a,b)$ 上是减函数，

答案： 解 易知函数 $y=x$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增，函数 $y=\frac{1}{x}$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递减，则由单调函数的运算性质知 $f(x)=x-\frac{1}{x}$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。因为 $a＞b＞0$，所以 $f(a)＞f(b)$。
答 A

例4-1
(1) 函数 $f(x)=\sqrt{x^2-1}$ 的单调增区间是；
(2) 函数 $f(x)=x-\sqrt{1-2x}$ 的最大值是。

答案： 解
(1) 由 $x^2-1 \ge 0$ 得 $x \ge 1$ 或 $x \le -1$，所以函数 $f(x)=\sqrt{x^2-1}$ 的定义域为 $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$。
因为外函数 $y=\sqrt{t}$ 在 $[0, +\infty)$ 上为增函数，而内函数 $t=x^2-1$ 在 $(-\infty, -1]$ 上为减函数，在 $[1, +\infty)$ 上为增函数，所以函数 $f(x)=\sqrt{x^2-1}$ 的单调增区间是 $[1, +\infty)$。
(2) $f(x)=x-\sqrt{1-2x}$ 的定义域为 $\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$，函数 $y=x$ 和函数 $y=-\sqrt{1-2x}$ 在 $\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$ 上都是增函数，所以函数 $f(x)=x-\sqrt{1-2x}$ 在 $\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$ 上是增函数，所以函数 $f(x)=x-\sqrt{1-2x}$ 的最大值为 $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}-\sqrt{1-2 × \frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$。
答
(1) $[1, +\infty)$
(2) $\frac{1}{2}$