《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

【例】求下列函数的值域：
(1)y = 3 - 2 cos x；
(2)y = a sin x + b (a ≠ 0)；
(3)y = 2 sin(2x + π/3), x ∈ [-π/6, π/2]。

答案： 解
(1)中先由cos x的范围得出 -2 cos x的范围，进而求出函数的值域。
(2)中把y看作是sin x的函数，从而求出值域。
(3)中由x的取值范围，确定2x + π/3的取值范围，再由正弦函数的单调性求解。
答
(1)
∵ -1 ≤ cos x ≤ 1，
∴ -1 ≤ -2 cos x ≤ 2，
∴ 1 ≤ 3 - 2 cos x ≤ 5。
故函数y = 3 - 2 cos x的值域为[1,5]。
(2)
∵ -1 ≤ sin x ≤ 1，
∴ 当a ＞ 0时，y_max = a + b, y_min = -a + b；
当a ＜ 0时，y_max = -a + b, y_min = a + b。
故函数y = a sin x + b (a ≠ 0)的值域：当a ＞ 0时，为[-a + b, a + b]；当a ＜ 0时，为[a + b, -a + b]。
(3)由

例3 2024·北京清华附中期末
(1)函数f(x) = cos(2x + π/4)在区间[0, π/2]上的最小值是。
(2)函数f(x) = 1 + 4 sin x - 4 cos²x, x ∈ [-π/6, π/2]，则f(x)的最小值为。
(3)函数y = (2 + cos x) / (2 - cos x)的最大值为。
解 (1)因为x ∈ [0, π/2]，所以2x + π/4 ∈ [π/4, 5π/4]，所以当2x + π/4 = π时，f(x)_min = -1。
(2)f(x) = 1 + 4 sin x - 4(1 - sin²x) = 4 sin²x + 4 sin x - 3，因为x ∈ [-π/6, π/2]，所以sin x ∈ [-1/2,1]。设sin x = t, -1/2 ≤ t ≤ 1，则g(t) = 4t² + 4t - 3 = 4(t + 1/2)² - 4，所以当t = -1/2时，g(t)取得最小值 -4，即f(x)的最小值为 -4。
(3)方法一：y = (2 + cos x) / (2 - cos x) = -1 + 4 / (2 - cos x)，
∵ x ∈ R，∴ cos x ∈ [-1,1]，∴ 2 - cos x ∈ [1,3]，
∴ 4 / (2 - cos x) ∈ [4/3,4]，∴ -1 + 4 / (2 - cos x) ∈ [1/3,3]，
故所求函数的值域为[1/3,3]。
方法二：∵ x ∈ [-π/6, π/2]，∴ 2x + π/3 ∈ [0, 4π/3]。
令u = 2x + π/3，则u ∈ [0, 4π/3]。
又∵ y = sin u在[0, π/2]上单调递增，在[π/2, 4π/3]上单调递减，
∴ 当u ∈ [0, 4π/3]时，-√3/2 ≤ sin u ≤ 1，
∴ -√3 ≤ 2 sin u ≤ 2，
即当x ∈ [-π/6, π/2]时，-√3 ≤ 2 sin(2x + π/3) ≤ 2，
∴ 所求函数的值域为[-√3,2]。
点评 当不能确定sin x的系数的正负时，需要对系数进行讨论。三角函数求值域问题需注意三角函数自身的“有界性”和单调性。

答案：
(1)最小值为$-1$；
(2)最小值为$-4$；
(3)最大值为$3$（答案分别填写对应结果）。
分别填：-1； -4； 3。