《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例4-3
已知$M$是同时满足下列条件的集合：
①$0\in M$，$1\in M$；
②若$x,y\in M$，则$x - y\in M$；
③若$x\in M$且$x\neq 0$，则$\frac{1}{x}\in M$.
下列结论中正确的是。
(1)$\frac{1}{3}\in M$；
(2)$-1\notin M$；
(3)若$x,y\in M$，则$x + y\in M$；
(4)若$x,y\in M$，则$xy\in M$。

答案： 解
(1)已知①$0\in M$，$1\in M$，则由②得$0 - 1 = - 1\in M$，$\therefore 1 - (-1) = 2\in M$，$2 - (-1) = 3\in M$，由③得$\frac{1}{3}\in M$，故
(1)正确。
(2)由
(1)可知$-1\in M$，故
(2)错误。
(3)由①知$0\in M$，$\because y\in M$，$\therefore 0 - y = - y\in M$。$\because x\in M$，$\therefore x - (-y)\in M$，即$x + y\in M$，故
(3)正确。
(4)$\because x,1\in M$，则$x - 1\in M$。由③可得$\frac{1}{x}\in M$，$\frac{1}{x - 1}\in M$，$\therefore \frac{1}{x} - \frac{1}{x - 1} = \frac{1}{x(1 - x)}\in M$，即$x - x^{2}\in M$，$\therefore x^{2}\in M$。由
(3)可知，若$x,y\in M$，则$x + y\in M$，$\therefore \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1} = \frac{2x - 1}{x(x - 1)}\in M$，$\therefore \frac{(x + y)^{2}}{2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{2} = xy\in M$，故
(4)正确。
答
(1)
(3)
(4)

例1 2022·全国高中数学联赛一试A卷
集合$A = \{n\mid n^{3} ＜ 2022 ＜ 3^{n},n\in\mathbf{Z}\}$的所有元素之和为。

答案： 解 当$n$为整数时，$n^{3} ＜ 2022$，即$n\leqslant 12$，$3^{n} ＞2022$，即$n\geqslant 7$，因此$A = \{7,8,9,10,11,12\}$。
答 57

例2 2022·全国高中数学联赛广西赛区预赛
设$A,B$是集合$\{1,2,·s,20\}$的两个子集，$A\cap B = \varnothing$，且$n\in A$时$2n + 2\in B$。记$M(A)$为$A$的元素之和 。

答案： 解 由$2n + 2\leqslant 20$，得$n\leqslant 9$。当$n = 1$时，$2n + 2 =4$；当$n = 2$时，$2n + 2 =6$；当$n = 3$时，$2n + 2 =8$。由$A\cap B = \varnothing$可知，$A$中至多有6个元素，即不含$1,2,3$。当$A = \{9,8,7,6,5,4\}$时，$M(A)$取最大值，为39。
答 39