《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例3
已知sin(3π−α)=√2cos($\frac{3π}{2}$+β),
√3cos(−α)=−√2cos(π+β),且0＜α＜
π,0＜β＜π,则α和β的值分别
为。
解已知条件可化为
{√si3ncαos=α√2=s√i2ncβos,①β,②
两式平方相加可得sin²α+3cos2α=2,即
sin²α=$\frac{1}{2}$。
因为0＜α＜π,所以sinα=$\frac{√2}{2}$,所以α=$\frac{H}{4}$
或α=$\frac{3π}{4}$。
当α=$\frac{H}{4}$时,代入②可求得cosβ=$\frac{√3}{2}$。
又因为0＜β＜π,所以β=$\frac{H}{6}$。
当α=$\frac{3π}{4}$时,代入②可求得cosβ=−$\frac{√}{2}$。
「第三步:依据题目条件中角的对应范围求得{
{相应角的值或范围。 1 能力点4诱导公式的综合问题
(1)诱导公式的综合问题
①利用六组诱导公式可以进行较复杂三角函数式的化简、求值及证明。
②求值问题常有给角求值、给值(或式)求角两类问题。
③观察一下诱导公式一~四的等号两边的角度，不难发现,这两个角度的和或差总是一个轴线角,即kπ,k∈Z的形式。于是我们可以归纳出诱导公式的一个十分重要的功能:如果两个角的和或差是轴线角kπ,k∈Z的话,利用诱导公式总可以把它们变成同名函数来处理,能认识到这一点，对于我们灵活利用诱导公式进行变形是十分重要的。
④此类问题常与同角三角函数基本关系综合在一起,要注意同角三角函数基本关系式的应用。
(2)诱导公式与其他数学知识的综合问题
①诱导公式常与函数问题综合,要正确解决此类题目,主要是利用诱导公式进行变形,分析出函数的性质,即单调性、奇偶性、周期性等,以此来解决问题。这也是高考中必考的题型之一,需要我们有较强的观察力与理论推导能力。
②有关三角函数的复合函数问题,主要是利用转化思想，一般是采用由内到外的原则,首先分析内层函数,综合熟悉的诱导公式,作适当地变形，然后再求解。
③诱导公式与三角形问题的综合:
a.解此类题时注意隐含的条件,如在△ABC中，
A+B+C=π,$\frac{A+B+C}{2}$=$\frac{A}{2}$,并结合诱导公式处理有关问题。
b.在三角形中,不同的角对应的余弦值不同,因此当cosC=cosB时,一定有C=B。其实在△ABC中,若sinC=sinB,也一样能得到C=B。若sin2C=sin2B,则2C=2B或2C=π−2B。
又因为0＜β＜π,所以β=$\frac{5π}{6}$。
α=$\frac{H}{4}$, α=$\frac{3π}{4}$
综上所述， 或
β=$\frac{H}{6}$ β=$\frac{5π}{6}$。
{ {
答$\frac{H}{4}$,$\frac{H}{6}$或$\frac{3π}{4}$”$\frac{5π}{6}$

答案： 由诱导公式化简已知条件：
1. $\sin(3\pi-\alpha)=\sin\alpha$，$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\beta\right)=\sin\beta$，故$\sin\alpha=\sqrt{2}\sin\beta$ ①
2. $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$，$\cos(\pi+\beta)=-\cos\beta$，故$\sqrt{3}\cos\alpha=\sqrt{2}\cos\beta$ ②
①²+②²得：$\sin^2\alpha+3\cos^2\alpha=2(\sin^2\beta+\cos^2\beta)=2$，即$1+2\cos^2\alpha=2$，解得$\cos^2\alpha=\frac{1}{2}$，$\cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$。
因$0＜\alpha＜\pi$：
当$\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$\alpha=\frac{\pi}{4}$，代入②得$\sqrt{3}·\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\cos\beta$，$\cos\beta=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又$0＜\beta＜\pi$，$\beta=\frac{\pi}{6}$。
当$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$\alpha=\frac{3\pi}{4}$，代入②得$\sqrt{3}·\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}\cos\beta$，$\cos\beta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，又$0＜\beta＜\pi$，$\beta=\frac{5\pi}{6}$。
综上，$\alpha=\frac{\pi}{4},\beta=\frac{\pi}{6}$或$\alpha=\frac{3\pi}{4},\beta=\frac{5\pi}{6}$。
$\alpha=\frac{\pi}{4},\beta=\frac{\pi}{6}$或$\alpha=\frac{3\pi}{4},\beta=\frac{5\pi}{6}$