《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例3-1
求下列函数的值域。
(1)$y=\sqrt {x}-2$；(2)$y=\frac {x^{2}-x}{x^{2}-x+1}$；
(3)$y=x-\sqrt {1-2x}$；(4)$y=\frac {x^{2}-4x+3}{2x^{2}-x-1}$。

答案： 答
(1)(观察法)因为$\sqrt {x}≥0$，所以$\sqrt {x}-2≥-2$，所以$y=\sqrt {x}-2$的值域为$[-2,+\infty )$。
(2)(配方法)因为$y=1-\frac {1}{x^{2}-x+1}$，且$x^{2}-x+1=(x-\frac {1}{2})^{2}+\frac {3}{4}≥\frac {3}{4}$，所以$0＜\frac {1}{x^{2}-x+1}≤\frac {4}{3}$，所以$-\frac {1}{3}≤y＜1$，即函数的值域为$[-\frac {1}{3},1)$。
(3)(换元法)令$\sqrt {1-2x}=t$，则$t≥0$，且$x=\frac {1-t^{2}}{2}$，所以$y=-\frac {1}{2}(t+1)^{2}+1≤\frac {1}{2}(t≥0)$。
所以函数的值域为$(-\infty ,\frac {1}{2}]$。
(4)(分离常数法)$y=\frac {x^{2}-4x+3}{2x^{2}-x-1}=\frac {(x-1)(x-3)}{(x-1)(2x+1)}=\frac {x-3}{2x+1}$，其中$x≠1$，
$\frac {x-3}{2x+1}=\frac {\frac {1}{2}(2x+1)-\frac {7}{2}}{2x+1}=\frac {1}{2}-\frac {7}{2(2x+1)}$，
当$x=1$时，$\frac {x-3}{2x+1}=\frac {1-3}{2×1+1}=-\frac {2}{3}$。
又因为$\frac {7}{2(2x+1)}≠0$，所以$y=\frac {x-3}{2x+1}≠\frac {1}{2}$。
所以函数的值域为$(-\infty ,-\frac {2}{3})\cup (-\frac {2}{3},\frac {1}{2})\cup (\frac {1}{2},+\infty )$。