《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1−2
下列转化结果正确的是()。

A.60°30'化成弧度是$\frac{121}{360}$πrad
B.−$\frac{10}{3}$πrad化成度是600°
C.−150°化成弧度是−$\frac{7}{6}$πrad
D.$\frac{T}{12}$rad化成度是45°
解对于A,60°30′=60.5°=60.5×$\frac{H}{180}$rad=
$\frac{121}{360}$πrad;对于B,−$\frac{10}{3}$πrad=−$\frac{10}{3}$×180°=
−600°;对于C,−150°=−150×$\frac{H}{180}$rad=
$\frac{5}{6}$πrad;对于D,$\frac{T}{12}$rad=$\frac{1}{12}$×180°=15°。
答A

答案： A

例2
(1)(多选)若扇形的半径变为原来的2倍，
弧长增加到原来的2倍，则()。
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增加到原来的4倍
D.扇形的圆心角增加到原来的2倍
(2)已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为()。
A.2 B.4 C.6 D.8
(3)扇形周长为6cm,面积为2cm²,则其圆心角的弧度数是()。
A.1或5 B.1或2
C.2或4 D.1或4
(4)弧长为3π,圆心角为135°的扇形的半径为,面积为。
解(1)设原来的扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为α,则变化后的扇形半径为2r,弧长为2l,圆心角为β,因为l=αr,2l=2rβ,所
续表

名称 角度制 弧度制
注意R是扇形的半径,n是R是扇形的半径,α是圆事项 圆心角的角度数 心角的弧度数
[知识辨析]
①在应用扇形面积公式S=$\frac{1}{2}$lαlR2时,要注意α的单位是“弧度”。
②在运用公式时，根据已知条件，选择合适的公式代入。
③在弧度制下的扇形面积公式S=$\frac{1}{2}$IR与三角形面积公式S=$\frac{1}{2}$ah(其中h是三角形底边a上的高)的形式相似,可类比记忆。
④由α,R,l,S中任意的两个量可以求出另外的两个量。

答案：
(1)设原来扇形半径为$r$，弧长为$l$，圆心角为$\alpha$；变化后半径为$2r$，弧长为$2l$，圆心角为$\beta$。由$l = \alpha r$，$2l = \beta · 2r$得$\beta=\alpha$（圆心角不变，B正确）；原面积$S=\frac{1}{2}lr$，新面积$S'=\frac{1}{2}(2l)(2r)=2lr=4S$（面积为原来4倍，C正确）。答案：BC
(2)由$S=\frac{1}{2}\alpha R^2=2$，$\alpha=4$得$R=1$，弧长$l=\alpha R=4$，周长$=l + 2R=4 + 2×1=6$。答案：C
(3)设半径$R$，圆心角$\alpha$，弧长$l=\alpha R$。由$\alpha R + 2R=6$，$\frac{1}{2}\alpha R^2=2$，联立解得$\alpha=1$或$4$。答案：D
(4)$135°=\frac{3\pi}{4}$，由$l=\alpha R=3\pi$得$R=4$；面积$S=\frac{1}{2}lR=6\pi$。答案：4；$6\pi$