《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1 (2024·山西太原期末)(多选)下列函数为幂函数的是()。

A.$y = x^0$
B.$y = x^{-2}$
C.$y = (x + 2)^2$
D.$y = 2 · x^{\frac{1}{3}}$

答案： 解 形如$y = x^{\alpha}$ ($\alpha$为常数)的函数为幂函数，所以只有$y = x^0$和$y = x^{-2}$为幂函数。
答 AB

例2-1 (2024·湖北黄冈中学检测)
已知幂函数$f(x)$的图像过点$(2, \sqrt{2})$，则下列结论正确的是()。

A.$y = f(x)$的定义域为$[0, +\infty)$
B.$y = f(x)$在其定义域内为减函数
C.$y = f(x)$是偶函数
D.$y = f(x)$是奇函数

答案： 解 设幂函数为$y = x^{\alpha}$，因为幂函数的图像过点$(2, \sqrt{2})$，所以$2^{\alpha} = \sqrt{2}$，解得$\alpha = \frac{1}{2}$，所以幂函数的解析式为$y = \sqrt{x}$，定义域为$[0, +\infty)$，故A正确，B, C, D错误。故选A。
答 A

例2-2 (多选)下列说法中，正确的是()。

A.幂函数的图像都过点$(0,0)$, $(1,1)$
B.当幂指数$\alpha = 1, 3, -1$时，幂函数$y = x^{\alpha}$的图像都经过第一、三象限
C.当幂指数$\alpha = 1, 3, \frac{1}{2}$时，幂函数$y = x^{\alpha}$是增函数
D.当幂指数$\alpha = -1$时，幂函数$y = x^{\alpha}$在其整个定义域上是减函数

答案： 解 幂函数$y = x^{-1}$的图像不过点$(0,0)$，且该函数在$(0, +\infty)$上是减函数，在$(-\infty, 0)$上也是减函数，但在整个定义域$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$上不是减函数，故A, D不正确。根据幂函数$y = x$, $y = x^3$, $y = x^{\frac{1}{2}}$, $y = x^{-1}$的图像和性质可知，B, C正确。故选BC。
答 BC