《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例2-1
计算下列各式的值:
(1)$\log$${ \frac { 1 } { 3 } } 3 + 2 \lg 4 + \lg \frac { 5 } { 8 } + 3 ^ { 1 + \log$${ 4 } 4 }$；
(2)$9 ^ { \log$${ 2 } 2 } + ( \log$${ 3 } 5 ) × ( \log$${ 1 0 0 } 3 ) + \frac { \log$${ 5 } \sqrt { 2 } } { \log$${ 5 } 1 0 } $；
(3)$\log$${ 2 } \sqrt { \frac { 7 } { 4 8 } } + \log$${ 2 } 1 2 - \frac { 1 } { 2 } \log$${ 2 } 4 2 - ( \sqrt { 3 } ) ^ { \log$${ 4 } 4 }$。

答案： 答
(1) 原式$= \frac { \log$

${ 3 } 3 } { \log$

${ 3 } \frac { 1 } { 9 } } + \lg 4 ^ { 2 } + \lg \frac { 5 } { 8 } + 3 × 3 ^ { \log$

${ 4 } 4 } = - \frac { 1 } { \log$

${ 3 } 3 ^ { - 2 } } + \lg ( 1 6 × \frac { 5 } { 8 } ) + 3 × 4 = - \frac { 1 } { - 2 } + \lg 1 0 + 1 2 = \frac { 1 } { 2 } + 1 + 1 2 = \frac { 2 5 } { 2 }$。
(2) 原式$= 3 ^ { 2 \log$

${ 2 } 2 } + \frac { \lg 5 } { \lg 3 } × \frac { \lg 3 } { \lg 1 0 0 } + \lg \sqrt { 2 } = 4 + \frac { 1 } { 2 } ( \lg 5 + \lg 2 ) = \frac { 9 } { 2 }$。
(3) 原式$= \log$

${ 2 } ( \sqrt { \frac { 7 } { 4 8 } } × 1 2 × \frac { 1 } { \sqrt { 4 2 } } ) - 2 = - \frac { 1 } { 2 } - 2 = - \frac { 5 } { 2 }$。

例2-2
已知$x , y , z$为正数，$3 ^ { x } = 4 ^ { y } = 6 ^ { z }$，且$2 x = p y$。
(1) 求$p$的值;
(2) 求证:$\frac { 1 } { z } - \frac { 1 } { x } = \frac { 1 } { 2 y }$。

答案： 答
(1) 设$3 ^ { x } = 4 ^ { y } = 6 ^ { z } = k ( k ＞ 1 )$，
则$x = \log$

${ 3 } k , y = \log$

${ 4 } k , z = \log$

${ 6 } k$。
由$2 x = p y$，得$2 \log$

${ 3 } k = p \log$

${ 4 } k = p · \frac { \log$

${ 3 } k } { \log$

${ 4 } 4 } = \frac { p } { 2 } \log$

${ 3 } k \circ ^ { \circ } \log$

${ 3 } k = x ＞ 0 , \therefore p = 4 \log$

${ 3 } 2$。
(2) 由
(1) 得$\frac { 1 } { z } - \frac { 1 } { x } = \frac { 1 } { \log$

${ 6 } k } - \frac { 1 } { \log$

${ 3 } k } = \log$

${ k } 6 - \log$

${ k } 3 = \log$

${ k } 2$。
又$\because \frac { 1 } { 2 y } = \frac { 1 } { 2 } \log$

${ k } 4 = \log$

${ k } 2$，
$\therefore \frac { 1 } { z } - \frac { 1 } { x } = \frac { 1 } { 2 y }$。

例 全国高中数学联赛四川赛区预赛
已知实数$\alpha , \beta$满足$\alpha e ^ { \alpha } = e ^ { 3 } , \beta ( \ln \beta - 1 ) = e ^ { 4 }$，
其中$e$为自然对数的底数，则$\alpha \beta =$ 。

答案： 解 因为实数$\alpha , \beta$满足$\alpha e ^ { \alpha } = e ^ { 3 } , \beta ( \ln \beta - 1 ) = e ^ { 4 }$，所以$\alpha + \ln \alpha = 3 , \ln \beta + \ln ( \ln \beta - 1 ) = 4$，即$\alpha + \ln \alpha - 3 = 0 , \ln \beta - 1 + \ln ( \ln \beta - 1 ) - 3 = 0$，
所以$\alpha$和$\ln \beta - 1$是方程$x + \ln x - 3 = 0$的根，
由于方程$x + \ln x - 3 = 0$的根唯一，所以$\alpha = \ln \beta - 1$，所以$3 - \ln \alpha = \ln \beta - 1$，整理得$\ln \alpha + \ln \beta = 4$，所以$\alpha \beta = e ^ { 4 }$。
答$e ^ { 4 }$