《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

【例】画出函数y = |tan x|的图像，并根据图像判断其单调区间和奇偶性。
【解】对于含有绝对值的函数，一般先去绝对值符号，得到分段函数，再根据函数特点作出函数的图像。

答案：
答 由y = |tan x|得
y = { tan x, kπ ≤ x ＜ kπ + π/2 (k ∈ Z),
-tan x, kπ - π/2 ＜ x ＜ kπ (k ∈ Z). }
根据正切函数图像的特点作出函数的图像，图像如图7-3-2-11所示。
由图像可知，函数y = |tan x|是偶函数。
函数y = |tan x|的单调增区间为[kπ, kπ + π/2) (k ∈ Z)，单调减区间为(kπ - π/2, kπ] (k ∈ Z)。

例1-1
函数f(x) = sin x + 2|sin x|, x ∈ [0,2π]的图像与直线y = k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围。

答案：
答 f(x) = sin x + 2|sin x| = { 3 sin x, x ∈ [0,π],
-sin x, x ∈ (π,2π]. }
图像如图7-3-2-13所示，若使f(x)的图像与直线y = k有且仅有两个不同的交点，根据图像可得k的取值范围是(1,3)。
方法总结
(1)判断两个函数图像的交点个数，准确画出函数图像是关键，这就要求我们对常见的函数图像非常熟悉。
(2)求方程f(x) = g(x)的解的个数，如果方程不可解，往往需要构造两个函数y = f(x)和y = g(x)，将问题转化为这两个函数的图像的交点个数问题。
点评 根据y = |sin x|, y = |cos x|的图像可得二者的周期是y = sin x, y = cos x周期的一半，即π；
根据y = |tan x|的图像可得它与y = tan x的周期一样，都是π。