《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

化简:√1−2cos2.sin2。
错解 √1−2cos2.sin2 =
√cos²2+sin²2−2sin2.cos2
√(cos2−sin2)²=cos2−sin2。
错因分析;开方时没有考虑到sin2＞cos2,故开方结果应为sin2−cos2。
正解 √1−2cos2.sin2 =
√cos²2+sin²2−2sin2.cos2 =
√(cos2−sin2)²=Icos2−sin21。
∵$\frac{H}{2}$＜2＜$\frac{3π}{4}$,由三角函数线可知sin2＞cos2,
∴原式=lcos2−sin21=sin2−cos2。
满分策略，对于含有根号的式子，常把被开方数(式)化为完全平方数(式),再借助公式√α=
lal,去掉根号;然后根据a的正负,去掉绝对值符号,从而达到化简的目的。去绝对值符号时，一定要根据α的正负决定符号。

答案： 答题卡作答：
原式$= \sqrt{1 - 2\cos2\sin2}$
$= \sqrt{\cos^{2}2 + \sin^{2}2 - 2\sin2\cos2}$
$= \sqrt{(\cos2 - \sin2)^{2}}$
$= | \cos2 - \sin2 |$
$\because \frac{\pi}{2} \lt 2 \lt \frac{3\pi}{4}$，由三角函数性质及单位圆三角函数线可知$\sin2 \gt \cos2$
$\therefore$原式$= \sin2 - \cos2$

例2
已知0＜α＜π,sinα+cosα=$\frac{1}{5}$,求tanα的值。
错解由sinα+cosα=$\frac{1}{5}$,
得(ssiinnα²α++ccoossα2α)²=$\frac{1}{25}$。
化简整理得24tan2α+50tanα+24=0,
解得tanα=−$\frac{3}{4}$或tanα=−$\frac{4}{3}$。
错因分析，对题设条件分析不透彻:由sinα+
COSα=$\frac{1}{5}$可推得sinαcosα＜0。由sinα+
cosα＞0,sinαcosα＜0,且0＜α＜π,得$\frac{H}{2}$＜
Q＜π。错解没有挖掘题目中的隐含条件。
正解由sinα+cosα=$\frac{1}{5}$,①
平方可得2sinαcosα=−$\frac{24}{25}$＜0。
又0＜α＜π,∴$\frac{H}{2}$＜α＜π,∴sinα＞0,cosα＜
o,∴Sinα−cosα=√1−2sinacosα=/1+2$\frac{24}{25}$4
$\frac{7}{5}$.②
联立①②解得sinα=$\frac{4}{5}$,coSα=−$\frac{3}{5}$,
∴tanα=$\frac{sinQ}{cOSQ}$. =$\frac{5}{3}$4=−$\frac{4}{3}$。
−$\frac{3}{5}$
满分策略，有些关于三角函数的条件求值问题，
表面上角的范围不受条件限制,实际上只要对已知式稍加变形,就会推出三角函数值间的限制关系,这种限制关系本身就隐含了角的取值范围。解题时,如果忽略了对已知条件中三角
函数值间限制关系的挖掘，就很可能出错。

答案： 已知0＜α＜π，sinα+cosα=$\frac{1}{5}$。
1. 两边平方得：(sinα+cosα)²=$\left(\frac{1}{5}\right)^2$，即sin²α+2sinαcosα+cos²α=$\frac{1}{25}$。
由sin²α+cos²α=1，得1+2sinαcosα=$\frac{1}{25}$，解得2sinαcosα=$-\frac{24}{25}$，故sinαcosα=$-\frac{12}{25}$＜0。
2. 因为0＜α＜π且sinαcosα＜0，sinα＞0，所以cosα＜0，即α∈$\left(\frac{π}{2},π\right)$，则sinα-cosα＞0。
3. 设sinα-cosα=t（t＞0），则t²=(sinα-cosα)²=sin²α-2sinαcosα+cos²α=1-2×$\left(-\frac{12}{25}\right)$=$\frac{49}{25}$，故t=$\frac{7}{5}$。
4. 联立$\begin{cases}sinα+cosα=\frac{1}{5} \\ sinα-cosα=\frac{7}{5}\end{cases}$，解得$\begin{cases}sinα=\frac{4}{5} \\ cosα=-\frac{3}{5}\end{cases}$。
5. 因此tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}$=$-\frac{4}{3}$。
结论：tanα=$-\frac{4}{3}$。