《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例4-1 已知$x+x^{-1}=4$,求下列各式的值。
(1)$x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}$;(2)$x^{2}+x^{-2}$;(3)$x^{2}-x^{-2}$;(4)$x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{3}{2}}$。

答案： 答
(1)$\because x+x^{-1}=4$,
$\therefore(x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}})^{2}=x-2+x^{-1}=4-2=2$,
$\therefore x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}=\pm\sqrt{2}$。
(2)$\because x+x^{-1}=4$,
$\therefore(x+x^{-1})^{2}=x^{2}+2+x^{-2}=16$,
$\therefore x^{2}+x^{-2}=14$。
(3)$\because x+x^{-1}=4$,
$\therefore(x-x^{-1})^{2}=x^{2}-2+x^{-2}=(x+x^{-1})^{2}-4=12$,$\therefore x-x^{-1}=\pm2\sqrt{3}$,
$\therefore x^{2}-x^{-2}=(x-x^{-1})(x+x^{-1})=\pm2\sqrt{3}×4=\pm8\sqrt{3}$。
(4)$\because x+x^{-1}=4$,
$\therefore(x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}})^{2}=x+2+x^{-1}=6$,
$\therefore x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{6}$,
$\therefore x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{3}{2}}=(x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}})(x-1+x^{-1})=\sqrt{6}×3=3\sqrt{6}$。