《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例4-3 2024·浙江杭州二中检测
用描述法表示下列集合：
（1）所有能被4整除的自然数组成的集合；
（2）平面直角坐标系中第一象限的点组成的集合；
（3）所有平行四边形组成的集合；
（4）不等式$5x+10＜0$的解集。

答案： 答 （1）$\{x|x=4n,n\in \mathbf{N}\}$。
（2）$\{(x,y)|x＞0$且$y＞0\}$。
（3）$\{x|x$是平行四边形$\}$。
（4）$\{x|x＜-2\}$。

例4-4 2024·北京四中测试
下列集合中，哪些是有限集？哪些是无限集？哪些是空集？
（1）小于100的全体质数组成的集合；
（2）线段$AB$内包含$AB$的中点$M$的所有线段组成的集合；
（3）$A=\{x||x|+1=0\}$；
（4）$A=\{(x,y)|y=2x+1\}$。

答案： 答 （1）是有限集；（2）（4）是无限集；（3）是空集。

例5
设集合$A=\{a|a=n^2+1,n\in \mathbf{Z}\}$，集合$B=\{b|b=k^2-4k+5,k\in \mathbf{Z}\}$，试判断集合$A$与集合$B$的关系。

答案： 答 若$a$是集合$A$中的元素，即$a\in A$，则$a=n^2+1(n\in \mathbf{Z})$，$\therefore a=(n^2+4n+4)-4(n+2)+5=(n+2)^2-4(n+2)+5$。$\because n\in \mathbf{Z}$，$\therefore n+2\in \mathbf{Z}$，$\therefore a\in B$，$\therefore$集合$A$中的元素都是集合$B$中的元素。若$b$是集合$B$中的元素，即$b\in B$，则$b=k^2-4k+5=(k-2)^2+1$。$\because k\in \mathbf{Z}$，$\therefore k-2\in \mathbf{Z}$，$\therefore b\in A$，$\therefore$集合$B$中的元素都是集合$A$中的元素。故$A=B$。
点评 要证明两个集合$A$和$B$相等，即要证明集合$A$中的任何一个元素都是集合$B$中的元素，同时也要证明集合$B$中的任何一个元素都是集合$A$中的元素。