《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例1
函数 $y = x^2 - 3x + 2$ 的零点是。

答案： 解 令 $x^2 - 3x + 2 = 0$, 解得 $x = 1$ 或 $x = 2$, 故函数 $y = x^2 - 3x + 2$ 的零点是 $1, 2$。
答 $1, 2$
【问题质疑】 函数 $y = x^2 - 2x + 1$ 有几个零点?
【提示】 方程 $x^2 - 2x + 1 = 0$ 有二重根 $x = 1$, 但函数 $y = x^2 - 2x + 1$ 却只有一个零点 $1$。

例2-1
二次函数 $y = x^2 + (a - 1)x + 1 (a ＞ 0)$ 只有一个零点, 则方程 $ax^2 - 8x - a = 0$ 的根为。

答案： 解 二次函数 $y = x^2 + (a - 1)x + 1 (a ＞ 0)$ 只有一个零点, 则 $\Delta = (a - 1)^2 - 4 = 0$, 解得 $a = 3$ 或 $a = -1$ (舍去), 所以方程为 $3x^2 - 8x - 3 = 0$, 解得 $x = -\frac{1}{3}$ 或 $3$。
答 $-\frac{1}{3}$ 或 $3$

例2-2 2024·A9 高中联盟高一期中
(多选)下列说法正确的是()。
续表

由上表可以看出 $ax^2 + bx + c ＞ 0 (a \neq 0)$ 对一切 $x \in \mathbf{R}$ 都成立的条件为 $\begin{cases} a ＞ 0, \\ \Delta ＜ 0, \end{cases}$ $(a \neq 0)$ 对一切 $x \in \mathbf{R}$ 都成立的条件为 $\begin{cases} a ＜ 0, \\ \Delta ＜ 0. \end{cases}$
【说明】
当 $a ＜ 0$ 时, 解不等式可以从两个方面入手: (1) 画出对应图像直接进行判定 (此时图像开口向下); (2) 两边同乘 $-1$, 把 $a$ 转变为 $-a$ 再进行求解。
知识剖析
三个“二次”之间的关系如下:

答案： 答案略