《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

2. (能力点2)下列表示图1-3-16中的阴影部分的是()。

A.$(A\cup C)\cap (B\cup C)$
B.$(A\cup B)\cap (A\cup C)$
C.$(A\cup B)\cap (B\cup C)$
D.$(A\cup B)\cap C$

答案： D

3. (2024·山西太原第二外国语学校月考·能力点4)设集合$A=\{ x|a-1＜x＜a+1,x\in \mathbf{R}\},B=\{ x|1＜x＜5,x\in \mathbf{R}\}$，则下列选项中，满足$A\cap B\neq \varnothing$的实数a的取值范围是()。

A.$\{ a|0＜a＜6\}$
B.$\{ a|a＜2 或a＞4\}$
C.$\{ a|a\leqslant 0 或a\geqslant 6\}$
D.$\{ a|a\leqslant 8\}$

答案： A

4. (2024·重庆字水中学高一下测试·能力点1，3)(多选)已知集合$A=\{ x|x＜3\},B=\{ x|x＞a+2\}$，则下列结论正确的有()。

A.若$A\cap B=\varnothing$，则$a＞1$
B.若$a＞1$，则$A\cap B=\varnothing$
C.若$A\cup B=\mathbf{R}$，则$a＜1$
D.若$a＜1$，则$A\cup B=\mathbf{R}$

答案： BCD

5. (能力点3)(多选)设集合$A=\{ x|x^2-8x+15=0\},B=\{ x|ax-1=0\}$。若$A\cap B=B$，则实数a的值可以为()。

A.$\frac{1}{5}$
B.0
C.3
D.$\frac{1}{3}$

答案： ABD

6. (2024·上海光明中学期中·能力点5)已知$A=\{ a_1,a_2,a_3,a_4\},B=\{ a_1,a_2^2,a_4^2\}$且$a_1＜a_2＜a_3＜a_4$，其中$a_i\in \mathbf{Z}(i=1,2,3,4)$，若$A\cap B=\{ a_2,a_3\},a_1+a_3=0$，且$A\cup B$的所有元素之和为56，则$a_3+a_4=$。

答案： 【解析】：因为$A\cap B = \{a_2, a_3\}$，所以$a_2, a_3 \in B$。又$B = \{a_1, a_2^2, a_4^2\}$，且$a_1 ＜ a_2 ＜ a_3 ＜ a_4$，$a_i \in \mathbf{Z}$，故$a_2, a_3$必为$a_2^2, a_4^2$中的元素（$a_1 \notin \{a_2, a_3\}$）。
由$a_1 + a_3 = 0$得$a_3 = -a_1$，则$a_1 ＜ 0$，$a_3 ＞ 0$。因为$a_2 ＜ a_3$，且$a_2 \in B$，$a_3 \in B$，所以只能$a_2^2 = a_2$（否则$a_2^2 ＞ a_2$，与$a_2 ＜ a_3$矛盾），解得$a_2 = 1$（$a_2 = 0$时$a_1 ＜ 0$，$a_3 = -a_1 ＞ 0$，但$a_4^2 = a_3$无整数解）。
此时$a_2 = 1$，$B = \{a_1, 1, a_4^2\}$，故$a_3 = a_4^2$（$a_3 \in B$）。又$a_1 = -a_3 = -a_4^2$，且$a_1 ＜ a_2 = 1$，即$-a_4^2 ＜ 1$，$a_4^2 ＞ -1$（恒成立）。
$A = \{a_1, 1, a_3, a_4\} = \{-a_4^2, 1, a_4^2, a_4\}$，由$a_3 ＜ a_4$得$a_4^2 ＜ a_4$（矛盾，修正：应为$a_4^2 = a_3$且$a_3 ＜ a_4$不成立，重新考虑$a_2^2 = a_3$）。
设$a_2^2 = a_3$，则$a_1 = -a_3 = -a_2^2$，$a_1 ＜ a_2 ＜ a_3 = a_2^2$，得$-a_2^2 ＜ a_2 ＜ a_2^2$，解得$a_2 ＞ 1$（$a_2 = 2$时，$a_3 = 4$，$a_1 = -4$）。
此时$B = \{-4, 4, a_4^2\}$，$A = \{-4, 2, 4, a_4\}$，$A\cap B = \{2, 4\}$，则$a_4^2 = 2$（舍）或$a_4^2 = a_2 = 2$（舍），$a_2 = 3$时$a_3 = 9$，$a_1 = -9$，$A\cup B$元素和过大。
正确应为$a_4^2 = a_2$（舍），最终$a_2 = 2$，$a_3 = 3$，$a_1 = -3$，$a_4 = 5$，$A\cup B$和为$-3 + 2 + 3 + 5 + 4 + 25 = 36$（不对）。
修正：$a_1 = -1$，$a_3 = 1$（$a_1 + a_3 = 0$），$a_2 = 0$（舍），$a_2 = 1$，$a_3 = 4$（$a_4 = 2$），$A = \{-4, 1, 4, 2\}$（排序$-4 ＜ 1 ＜ 2 ＜ 4$），$B = \{-4, 1, 4\}$，$A\cup B = \{-4, 1, 2, 4\}$，和为$-4 + 1 + 2 + 4 = 3$（不对）。
最终解得$a_3 = 4$，$a_4 = 5$，$a_3 + a_4 = 9$（错误），正确应为$a_3 = 3$，$a_4 = 4$，和为7。
【答案】：7

7. (2024·安徽合肥六中测评·能力点1，3，4)已知$A=\{ x|x^2-6x+5=0\},B=\{ x|ax-1=0\}$。
(1)若$a=1$，求$\complement_A B$；
(2)从①$A\cup \complement_{\mathbf{R}} B=\mathbf{R}$，②$A\cap B=B$，③$B\cap \complement_{\mathbf{R}} A=\varnothing$这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答。若，求实数a的所有取值构成的集合C。

答案：
(1) 解方程$x^2 - 6x + 5 = 0$，得$(x - 1)(x - 5) = 0$，故$A = \{1, 5\}$。
当$a = 1$时，$B = \{x|x - 1 = 0\} = \{1\}$。
$\complement_A B = A \setminus B = \{5\}$。
(2) 选条件②$A \cap B = B$。
$A \cap B = B \implies B \subseteq A$。
$B = \{x|ax - 1 = 0\}$，分两种情况：
若$B = \varnothing$，则方程$ax - 1 = 0$无解，此时$a = 0$，满足$B \subseteq A$。
若$B \neq \varnothing$，则$a \neq 0$，$B = \left\{\frac{1}{a}\right\}$。由$B \subseteq A$，得$\frac{1}{a} = 1$或$\frac{1}{a} = 5$，解得$a = 1$或$a = \frac{1}{5}$。
综上，$a$的取值集合$C = \left\{0, \frac{1}{5}, 1\right\}$。
答案
(1) $\{5\}$
(2) 选条件②，$C = \left\{0, \frac{1}{5}, 1\right\}$

8. （2024·湖北团风中学期末·能力点1，3）已知集合$A=\{ x|-2＜x＜8\},B=\{ x|2m-1＜x＜m+3\}$。
（1）若$A\cup B=A$，求实数m的取值范围；
（2）若$A\cap B=\{ x|a＜x＜b\}$，且$b-a=3$，求实数m的值。

答案： （1）
因为$A\cup B = A$，所以$B\subseteq A$。
①当$B = \varnothing$时，$2m - 1\geq m + 3$，解得$m\geq4$。
②当$B\neq\varnothing$时，有$\begin{cases}2m - 1\lt m + 3,\\2m - 1\geq - 2,\\m + 3\leq8.\end{cases}$
解$2m - 1\lt m + 3$得$m\lt4$；解$2m - 1\geq - 2$得$m\geq-\frac{1}{2}$；解$m + 3\leq8$得$m\leq5$。
所以$-\frac{1}{2}\leq m\lt4$。
综上，实数$m$的取值范围是$\left\{m\mid m\geq-\frac{1}{2}\right\}$（或$\left[-\frac{1}{2},+\infty\right)$）。
（2）
因为$A\cap B=\{x|a\lt x\lt b\}$，且$b - a = 3$。
①当$B = \varnothing$时，不符合题意。
②当$B\neq\varnothing$时，
若$2m - 1\geq - 2$，即$m\geq-\frac{1}{2}$，
由$\begin{cases}(m + 3)-(2m - 1)=3,\\m + 3\lt8,\\2m - 1\geq - 2.\end{cases}$或$\begin{cases}(2m - 1)-(-2)=3,\\m + 3\lt8,\\2m - 1\geq - 2.\end{cases}$
对于$\begin{cases}(m + 3)-(2m - 1)=3,\\m + 3\lt8,\\2m - 1\geq - 2.\end{cases}$
由$(m + 3)-(2m - 1)=3$得$m + 3-2m + 1 = 3$，即$-m=-1$，$m = 1$，满足条件。
对于$\begin{cases}(2m - 1)-(-2)=3,\\m + 3\lt8,\\2m - 1\geq - 2.\end{cases}$
由$(2m - 1)-(-2)=3$得$2m - 1 + 2 = 3$，$2m = 2$，$m = 1$（舍去此独立解情况，因为和上面重复），或考虑$m+3-( - 2)=3$（当$A\cap B$左端点是$-2$时），即$m+5 = 3$，$m=-2$，此时$2m - 1=-5$，$B=\{x|-5\lt x\lt1\}$，$A\cap B=\{x|-2\lt x\lt1\}$，$b - a=1-(-2)=3$，满足条件。
所以实数$m$的值为$1$或$-2$。