《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例3
已知函数f(x)=x²+lx−al+1,x∈R,a为实数,判断∮(x)的奇偶性。
错解因为x∈R,f(−x)=(−x)²+｜−x−al+1=x²+lx+al+1≠±∮(x),故此函数既不是奇函数，也不是偶函数。
错因分析;忽视对参数a的讨论。实际上，当α=0时,函数便具有奇偶性了。
正解(1)当α=0时f(x)=x²+1x|+1,此时,∮(−x)=(−x)²+1−x1+1=x²+1xl+1=
∮(x),故函数∮(x)为偶函数。
(2)当a≠0时,因为f(a)=a²+1,f(−a)=
a²+2lal+1,显然,f(−a)≠±∮(a),故此函数既不是奇函数，也不是偶函数。
综上,当a=0时,f(x)为偶函数;当a≠0时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数。
满分策略，对于含有参数的函数的奇偶性判断问题，要充分考虑参数的不同取值情况，看是否会影响到f(−x)与f(x)的关系,必要时,必须进行分类讨论。

答案：
(1)当$a = 0$时，$f(x) = x^2 + |x| + 1$，此时$f(-x) = (-x)^2 + |-x| + 1 = x^2 + |x| + 1 = f(x)$，故函数$f(x)$为偶函数。
(2)当$a \neq 0$时，$f(a) = a^2 + |a - a| + 1 = a^2 + 1$，$f(-a) = (-a)^2 + |-a - a| + 1 = a^2 + 2|a| + 1$。
因为$f(-a) \neq f(a)$且$f(-a) \neq -f(a)$，故此函数既不是奇函数，也不是偶函数。
综上，当$a = 0$时，$f(x)$为偶函数；当$a \neq 0$时，$f(x)$既不是奇函数，也不是偶函数。