《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例5-2
某农场有一废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m，现准备在该地区重新建一个猪圈。平面图为矩形，面积为112m²，预计：(1)修复1m旧墙的费用是建造1m新墙费用的25%；(2)拆去1m旧墙所得材料用以建成1m新墙的费用是建1m新墙的50%；(3)为安装圈门，要在围墙的适当处留出1m的空缺。试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最少？
答 显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。设修复成新墙的旧墙为xm，则剩下的旧墙拆得的材料可建造新墙(12 - x)m，于是还需建造新墙的长为2 · 112 / x + (x - 1) - (12 - x) = 2x + 224 / x - 13(m)。
设建造1m新墙需a元，建造围墙的总费用为y元，则y = x · a · 25% + (12 - x) · a · 50% + (2x + 224 / x - 13)a = a(7x / 4 + 224 / x - 7)。又x ＞ 0，所以7x / 4 + 224 / x ≥ 2 · √(7x / 4 · 224 / x) = 28√2，当且仅当7x / 4 = 224 / x，即x = 8√2 ≈ 11.3时，上式等号成立。
因此修复的旧墙约为11.3m，拆除并改建成新墙的旧墙约为0.7m时，建造的总费用最少。

答案： 设修复的旧墙长度为$ x $米（$ 0 ＜ x \leq 12 $），则拆去的旧墙长度为$ (12 - x) $米，矩形另一边长为$ \frac{112}{x} $米。
需新建的新墙长度为：$ 2 · \frac{112}{x} + (x - 1) - (12 - x) = 2x + \frac{224}{x} - 13 $。
设建造1米新墙费用为$ a $元，总费用$ y $元，则：
$\begin{aligned}y&=0.25ax + 0.5a(12 - x) + a\left(2x + \frac{224}{x} - 13\right)\\&=a\left(\frac{7x}{4} + \frac{224}{x} - 7\right)\end{aligned}$
由基本不等式$ \frac{7x}{4} + \frac{224}{x} \geq 2\sqrt{\frac{7x}{4} · \frac{224}{x}} = 28\sqrt{2} $，当且仅当$ \frac{7x}{4} = \frac{224}{x} $，即$ x = 8\sqrt{2} \approx 11.3 $时取等号。
此时拆去的旧墙长度为$ 12 - x \approx 0.7 $米。
修复旧墙约11.3米，拆除并改建成新墙的旧墙约0.7米时，总费用最少。

例1 2022·上海交大强基测试
已知a ＞ b ＞ 0，则a + 4 / (a + b) + 1 / (a - b)的最小值为  。
解 ∵ a ＞ b ＞ 0，∴ a + b ＞ 0, a - b ＞ 0，∴ a + 4 / (a + b) + 1 / (a - b) = 1 / 2(a + b) + 1 / 2(a + b) + 4 / (a + b) + 1 / 2(a - b) + 1 / 2(a - b) ≥
2√(1 / 2(a + b) · 4 / (a + b)) + 2√(1 / 2(a - b) · 1 / 2(a - b)) = 3√2，当且仅当{
1 / 2(a + b) = 4 / (a + b),
1 / 2(a - b) = 1 / (a - b),
}即{
a + b = 2√2,
a - b = √2,
b = √2 / 2
}时，等号成立。故a + 4 / (a + b) + 1 / (a - b)的最小值为3√2。
答 3√2

答案： $3\sqrt{2}$

例2 2022·全国高中数学联赛重庆赛区初赛
若不等式√x + √y ≤ k√5x + y对任意正实数x, y都成立，则实数k的最小值为  。
解 由柯西不等式的变形可知√5x + y = √(x / 5 · 5 + y / 1 · 1) ≥ (√x + √y) / √(1 / 5 + 1) = √(30 / 5) · (√x + √y) = √30 / 5(√x + √y)，整理得√x + √y / √5x + y ≤ √30 / 5，当且仅当√x = √y / 1 / 5，即y = 25x时等号成立，
则k的最小值为√30 / 5。
答 √30 / 5

答案： $\frac{\sqrt{30} }{5} $（该题为填空题，直接填写答案形式）