《2025年教材完全解读高中数学必修第一册苏教版》

例4 2024·新高中创新联盟TOP二十名校高一调研
（多选）若实数$ab≠0$且$\frac {b}{a}+\frac {a}{b}+1=\frac {1}{a}+\frac {1}{b}$，则下列结论正确的是（）。

A.存在$a,b$，使得$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}=-1$
B.若$ab＞0$，则$1＜a+b\leqslant \frac {4}{3}$
C.当$ab＜0$时，$a+b$不可能小于零
D.$-\frac {1}{3}\leqslant a＜1$且$a≠0$

答案： 解 对于A，当$ab＞0$时，$\frac {b}{a}+\frac {a}{b}+1\geqslant 3$，当且仅当$a=b$时等号成立，此时不存在$a,b$，使得$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}=-1$，当$ab＜0$时，$\frac {b}{a}+\frac {a}{b}+1\leqslant -1$，当$b=-a$时等号成立，但此时$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}=0$，所以不存在$a,b$，使得$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}=-1$，A错误；对于B，由$\frac {b}{a}+\frac {a}{b}+1=\frac {1}{a}+\frac {1}{b}$得$a^{2}+b^{2}+ab=a+b$，所以$(a+b)^{2}-(a+b)=ab\leqslant (\frac {a+b}{2})^{2}$，整理得$\frac {3}{4}(a+b)^{2}-(a+b)\leqslant 0$，所以$0\leqslant a+b\leqslant \frac {4}{3}$。又$(a+b)^{2}-(a+b)=ab＞0$，所以$a+b＞1$或$a+b＜0$，综上，$1＜a+b\leqslant \frac {4}{3}$，B正确；对于C，因为$ab＜0$，所以$b≠0$，由$a+b=a^{2}+b^{2}+ab=(a+\frac {b}{2})^{2}+\frac {3}{4}b^{2}＞0$，C正确；对于D，因为$ab≠0$，设$b=ka(k≠0)$，代入$a^{2}+b^{2}+ab=a+b$得$a(k^{2}+k+1)=k+1$，因为$a≠0$，所以$k+1≠0$。所以$a=\frac {k+1}{k^{2}+k+1}=\frac {1}{\frac {k^{2}+k+1}{k+1}}=\frac {1}{k+\frac {1}{k+1}}=\frac {1}{(k+1)+\frac {1}{k+1}-1}$，当$k+1＞0$时，由$k≠0$得$k+1≠1$，所以$(k+1)+\frac {1}{k+1}-1＞2\sqrt {(k+1)· \frac {1}{k+1}}-1=1$，所以$0＜a＜1$；当$k+1＜0$时，$(k+1)+\frac {1}{k+1}-1\leqslant -3$，当且仅当$k=-2$时等号成立，$-\frac {1}{3}\leqslant a＜0$，所以$-\frac {1}{3}\leqslant a＜1$且$a≠0$，D正确。故选BCD。
答 BCD