《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

1.(2024 重庆 A 卷)若两个相似三角形的相似比是$1:3$，则这两个相似三角形的面积比是(D)

A.$1:3$
B.$1:4$
C.$1:6$
D.$1:9$

答案： 1.D

2. 如图，$P$为平行四边形$ABCD$边$AD$上一点，$E$，$F$分别为$PB$，$PC$的中点，$\triangle PEF$，$\triangle PDC$，$\triangle PAB$的面积分别为$S$，$S_1$，$S_2$，若$S = 2$，则$S_1 + S_2$等于(C)

A.$4$
B.$6$
C.$8$
D.不能确定

答案： 2.C

3. 若两个相似三角形的对应高的比为$2:3$，它们的周长和是$20$厘米，则它们的周长差为4厘米.

答案： 3.4

4. 如图，$AB$与$CD$交于点$O$，且$AC// BD$. 若$\frac{OA + OC + AC}{OB + OD + BD} = \frac{1}{2}$，则$\frac{AC}{BD} =$$\frac{1}{2}$.

答案： $4.\frac{1}{2}$

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$在$AC$上，$DE// BC$，$DF// AB$.
（1）求证：$\triangle DFC\sim\triangle AED$；
（2）若$CD = \frac{1}{3}AC$，求$\frac{S_{\triangle DFC}}{S_{\triangle AED}}$的值.

答案： 5.
(1)
∵DF// AB,DE// BC,
∴$\triangle DFC∽\triangle ABC,\triangle AED∽\triangle ABC,$
∴$\triangle DFC∽\triangle AED.$
(2)由
(1)可知$ \triangle DFC∽\triangle ABC,\triangle AED∽ \triangle ABC,$
∵$CD=\frac{1}{3}AC,$
∴$AD=\frac{2}{3}AC,$
$\frac{S_{\triangle DFC}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{CD}{CA})^2=\frac{1}{9},\frac{S_{\triangle AED}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{AD}{AC})^2=\frac{4}{9},$
∴$\frac{S_{\triangle DFC}}{}=\frac{1}{9}S_{\triangle ABC},\frac{S_{\triangle AED}}{}=\frac{4}{9}S_{\triangle ABC},$
$\frac{S_{\triangle DFC}}{S_{\triangle AED}}=\frac{1}{4}.$

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$是$BC$边上一点，且$AD = 5\ cm$，$BD = 4\ cm$，$\triangle ABD$和$\triangle ABC$的面积比为$1:4$，若$AB^{2}=BD· BC$，求$\triangle ABC$的周长.

答案： 6.
∵$AB^2 = BD · BC, $
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}.$
又
∵∠ABD=∠CBA,
∴$\triangle ABD∽\triangle CBA.$
∵$\triangle ABD $和$\triangle ABC $的面积比为 1:4,
∴$\triangle ABD $和$\triangle ABC $的相似比为 1:2,
$\triangle ABD $和$\triangle ADC $的面积比为 1:3,
∴BD:DC=1:3,
∴4:DC=1:3,
∴DC=12,
∴BC=BD + DC=16,
∴$AB^2=BD · BC=4×16=64, $
∴AB=8,
∴$\triangle ABD $的周长为 AB+AD+BD=8+5+4=17(cm),
∴$\triangle ABC $的周长为 2×17=34(cm).