《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

1. 如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形(阴影部分)与$\triangle ABC$相似的是 (B)

答案： 1.B

2. 在三角形纸片$ABC$中，$AB = 8$，$BC = 4$，$AC = 6$，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与
$\triangle ABC$相似的是 (D)

答案： 2.D

3. 点$D$在$\triangle ABC$的边$AB$上，且$AC^{2} = AD · AB$，则$\triangle ABC \sim \triangle ACD$，理由是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

答案： 3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

4. 已知$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\angle B = \angle E = 70^{\circ}$，$AB = 12 cm$，$BC = 8 cm$，$DE = 6 cm$，当$EF =$
4 cm或9 cm时，$\triangle ABC$和$\triangle DEF$相似.

答案： 4.4 cm或9 cm

5. (2024 广州)如图，点$E$，$F$分别在正方形$ABCD$的边$BC$，$CD$上，$BE = 3$，$EC = 6$，$CF = 2$. 求证：
$\triangle ABE \sim \triangle ECF$.

答案： 5.$\because BE = 3$,$CE = 6$,
$\therefore BC = BE + CE = 9$.
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB = BC = 9$,$\angle B=\angle C = 90^{\circ}$.
$\because CF = 2$,
$\frac{CF}{BE}=\frac{CE}{AB}=\frac{2}{3}$,
$\therefore \triangle ABE \sim \triangle ECF$.

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 8 cm$，$AC = 6 cm$，动点$P$，$Q$分别从点$B$，$C$同时出发，点$P$以$2 cm/s$的速度沿$BC$向点$C$移动；点$Q$以$1 cm/s$的速度沿$CA$向点$A$移动，经过多少秒，$\triangle CPQ$和$\triangle ABC$相似?

答案： 6.设经过$t$秒，则$BP = 2t$,$CQ = t$,
$\therefore PC = 8 - 2t$,
$\because \angle QCP=\angle ACB$,
$\therefore$ 当$\triangle CPQ \sim \triangle CBA$时，
有$\frac{CP}{CB}=\frac{CQ}{CA}$，
即$\frac{8 - 2t}{8}=\frac{t}{6}$，
解得$t = 2.4$.
当$\triangle CPQ \sim \triangle CAB$，有$\frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{BC}$，
即$\frac{8 - 2t}{6}=\frac{t}{8}$，
解得$t=\frac{32}{11}$.
综上，经过$2.4 s$或$\frac{32}{11} s$.