《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

1.[新情境]云南十八怪，草帽当锅盖.使用草编的锅盖蒸米饭，不传热、不吸水、透气性好，搭配攀枝
花木甑子，蒸出的米饭香气浓郁，满是家的味道.某同学发现家里的草帽锅盖可以近似看作一个圆
锥，测量得母线长为$50\ cm$，高度为$30\ cm$，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长等于 (D)

A.$30\pi\ cm$
B.$40\pi\ cm$
C.$\sqrt{340}\pi\ cm$
D.$80\pi\ cm$

答案： 1.D

2.有一个扇形，弧长等于半径的$\sqrt{3}\pi$倍，用这个扇形作一个圆锥的侧面，则圆锥的母线与圆锥的高的夹
角为 (B)

A.$90^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

答案： 2.B

3.如图，$\odot O$的半径是$2$，扇形$BAC$的圆心角为$60^{\circ}$.若将扇形$BAC$剪下围成一个圆锥，则此圆锥的底
面圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

答案： 3.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

4.如图，圆锥底面圆心为$O$，半径$OA=1$，顶点为$P$，将圆锥置于平面上，若保持顶点$P$位置不变，将圆
锥顺时针滚动四周后点$A$恰好回到原处，则圆锥的高$OP=$$\sqrt{15}$.

答案： 4.$\sqrt{15}$

5.如图，在矩形$ABCD$中，$AB=1$，若$Rt\triangle ABC$绕$AB$所在的直线旋转一周所得圆锥的侧面积和矩形
$ABCD$绕$AB$所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积相等，求$BC$的长.

答案： 5.$\because S_{圆锥侧} = \pi · BC · AC$，
$S_{圆柱侧} = 2\pi · BC · CD$，$S_{圆锥侧} = S_{圆柱侧}$，
$\therefore \pi · BC · AC = 2\pi · BC · CD$，
$\therefore AC = 2CD$。
$\because$四边形$ABCD$为矩形，$\therefore CD = AB = 1$，
$\therefore AC = 2CD = 2$。
在$Rt\triangle ABC$中，
$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$。

6.如图所示的是一个纸杯，它的母线延长后形成的立体图形是圆锥，该纸杯的侧面展开图是扇环，经测
量，纸杯开口底面圆的直径为$6\ cm$，下底面圆的直径为$4\ cm$，母线$EF$长为$9\ cm$，求扇形$OAB$的圆
心角及这个纸杯的表面积.(结果保留根号和$\pi$)

答案： 6.由题意可知$\widehat{BA}$的长为$6\pi cm$，$\widehat{CD}$的长为$4\pi cm$，
设$\angle AOB = n°$，$AO = R cm$，
则$CO = (R - 9)cm$，
由弧长公式$l = \frac{n\pi R}{180}$，得$\begin{cases}6 × 180 = nR \\4 × 180 = nR - 9n\end{cases}$
解得$n = 40$，$R = 27$，故扇形$OAB$的圆心角是$40°$。
$\because R = 27$，$R - 9 = 18$，
$\therefore S_{扇形OCD} = \frac{1}{2} × 4\pi × 18 = 36\pi (cm^2)$，
$S_{扇形OAB} = \frac{1}{2} × 6\pi × 27 = 81\pi (cm^2)$，
$\therefore$纸杯侧面积为$S_{扇形OAB} - S_{扇形OCD} = 81\pi - 36\pi = 45\pi (cm^2)$，
又纸杯底面积为$\pi · 2^2 = 4\pi (cm^2)$，
$\therefore$纸杯表面积为$45\pi + 4\pi = 49\pi (cm^2)$。