《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

1.如图，在$\bigtriangleup ABC$中，$\angle ACB = 90°$，$CD \perp AB$，垂足为$D$，点$E$是$AB$的中点，$BC = DE = a$，则$AB$的长为

A.$2a$
B.$2\sqrt{2}a$
C.$3a$
D.$\frac{4\sqrt{3}a}{3}$

答案： 1.B

2.[新素材]小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含$60°$角的菱形$ABCD$，如图所示.若$AB$的长度为$a$，则菱形$ABCD$的面积为

A.$\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$
B.$\frac{\sqrt{3}a^2}{2}$
C.$a^2$
D.$\sqrt{3}a^2$

答案： 2.B

3.如图，在$\bigtriangleup ABC$中，$AH \perp BC$于点$H$，$E$，$D$，$F$分别是$AB$，$BC$，$AC$的中点，如果$ED = 5 cm$，那么$FH$的长为5$ cm$.

答案： 3.5

4.[新考法]图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字$2$的刻度在矩形$ABCD$的对角线$BD$上，时钟中心在矩形$ABCD$对角线的交点$O$上.若$AB = 1$，则$BC$的长为$\sqrt{3}$(结果保留根号).

答案： 4.$\sqrt{3}$

5.如图，已知$PE // BA$，$PE$交$BC$于点$E$，$PF // BC$，$PF$交$BA$于点$F$，$PH \perp BA$，垂足为$H$，$\angle CEP = 43°$，求$\angle FPH$的度数.

答案： 5.$47°$。

6.如图，$Rt \bigtriangleup FBC$中，$\angle FBC = 90°$，$\angle BFC = 30°$，点$E$，$A$分别是$FB$，$FC$的中点，过点$C$作$AB$的平行线与$EA$的延长线交于点$D$，连结$FD$.
（1）求证：四边形$ABCD$是菱形；
（2）若$BC = 2$，求$DF$的长.

答案： 6.
(1)
∵点E，A分别是FB，FC的中点，
$\therefore EA$是$\triangle FBC$的中位线，$\therefore EA// BC$。
∵$AB// CD$，$\therefore$四边形ABCD是平行四边形。
∵$\angle FBC=90°$，$\angle BFC=30°$，$\therefore BC=\frac{1}{2}CF$。
∵A是FC的中点，$\angle FBC=90°$，
$\therefore AB=\frac{1}{2}CF$，
$\therefore AB=BC$，$\therefore$四边形ABCD是菱形。
(2)
∵四边形ABCD是菱形，
$\therefore BC=DC$，$\angle BCA=\angle DCA$。
又$CF=CF$，$\therefore \triangle BCF \cong \triangle DCF$，$\therefore DF=BF$。
∵$\angle FBC=90°$，$\angle BFC=30°$，$BC=2$，
$\therefore FC=4$，
$\therefore BF=\sqrt{FC^{2}-BC^{2}}=2\sqrt{3}$，
$\therefore DF=2\sqrt{3}$。