《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

23. (10 分) 如图，在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，AC = 60 cm，∠A = 60°，点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以 4 cm/s 的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2 cm/s 的速度向点 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动. 设点 D，E 运动的时间是 t s(0 ＜ t ≤ 15). 过点 D 作 DF ⊥ BC 于点 F，连结 DE，EF.
(1) 求证：AE = DF.
(2) 四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值；如果不能，说明理由.
(3) 当 t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由.

答案： 23.
(1)在直角三角形ABC中, ∠C = 90° - ∠A = 30°.
∵CD = 4t, AE = 2t, 且在直角三角形CDF中, ∠C = 30°,
∴DF = $\frac{1}{2}$CD = 2t,
∴DF = AE.
(2)能.
∵DF//AB, DF = AE,
∴四边形AEFD是平行四边形, 当AD = AE时, 四边形AEFD是菱形, 即60 - 4t = 2t, 解得t = 10, 即当t = 10时, 四边形AEFD是菱形.
(3)当t = $\frac{15}{2}$时, △DEF是直角三角形(∠EDF = 90°); 当t = 12时, △DEF是直角三角形(∠DEF = 90°).理由如下: 当∠EDF = 90°时, DE//BC.
∴∠ADE = ∠C = 30°,
∴AD = 2AE,
∵CD = 4t,
∴DF = 2t = AE,
∴AD = 4t,
∴4t + 4t = 60;
∴t = $\frac{15}{2}$, 此时∠EDF = 90°. 当∠DEF = 90°时, DE⊥EF,
∵四边形AEFD是平行四边形,
∴AD//EF,
∴DE⊥AD,
∴△ADE是直角三角形, ∠ADE = 90°,
∵∠A = 60°,
∴∠DEA = 30°,
∴AD = $\frac{1}{2}$AE, 又AD = AC - CD = 60 - 4t, AE = 2t,
∴60 - 4t = t, 解得t = 12. 综上所述, 当t = $\frac{15}{2}$时, △DEF是直角三角形(∠EDF = 90°); 当t = 12时, △DEF是直角三角形(∠DEF = 90°).