《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

24. （12分）[2024 浙江] 已知二次函数$y = x^2 + bx + c$（$b$，$c$为常数）的图象经过点$A(-2,5)$，对称轴为$x = -\frac{1}{2}$.
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点$B(1,7)$向上平移$2$个单位长度，向左平移$m (m ＞ 0)$个单位长度后，恰好落在$y = x^2 + bx + c$的图象上，求$m$的值；
（3）当$-2 \leq x \leq n$时，二次函数$y = x^2 + bx + c$的最大值与最小值的差为$\frac{9}{4}$，求$n$的取值范围.

答案： 24.
(1)$\because$二次函数为$y = x^2 + bx + c$（$b,c$为常数），
$\therefore$抛物线的对称轴为$x = -\frac{b}{2} = -\frac{1}{2}$，
$\therefore b = 1$，
$\therefore$二次函数为$y = x^2 + x + c$.
又该二次函数的图象经过点A$(-2,5)$，
$\therefore 4 - 2 + c = 5,\therefore c = 3$，
$\therefore$二次函数的表达式为$y = x^2 + x + 3$.
(2)将点B$(1,7)$向上平移2个单位长度，向左平移$m$个单位长度$(m ＞ 0)$，
得平移后点的坐标为$(1 - m,9)$.
又$\because$点$(1 - m,9)$恰好落在$y = x^2 + x + 3$的图象上，
$\therefore 9 = (1 - m)^2 + (1 - m) + 3$，
解得$m = 4$或$m = -1$（舍去），$\therefore m = 4$.
(3)$\because y = x^2 + x + 3 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}$，
$\therefore$当$x = -\frac{1}{2}$时，$y$取得最小值，最小值为$\frac{11}{4}$.
①若$n ＜ -\frac{1}{2}$，
则当$-2 \leq x \leq n$时，$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$当$x = -2$时，$y$取得最大值，
最大值为$4 - 2 + 3 = 5$；
当$x = n$时，$y$取得最小值，
最小值为$n^2 + n + 3$.
又$\because$最大值与最小值的差为$\frac{9}{4}$，
$\therefore 5 - (n^2 + n + 3) = \frac{9}{4}$，
解得$n = -\frac{1}{2}$，不符合题意；
②若$n \geq -\frac{1}{2}$，
则当$-2 \leq x \leq n$时，最小值在二次函数顶点处取得，
即当$x = -\frac{1}{2}$时，$y$取最小值$\frac{11}{4}$.
若当$x = -2$时，$y$取最大值，
则最大值为$4 - 2 + 3 = 5$，
$\therefore$最大值与最小值的差为$5 - \frac{11}{4} = \frac{9}{4}$，符合题意，此时$n$的取值范围为$-\frac{1}{2} \leq n ＜ 1$；
若当$x = n$时，$y$取最大值，
则最大值为$n^2 + n + 3$.
$\because$最大值与最小值的差为$\frac{9}{4}$，
$\therefore n^2 + n + 3 - \frac{11}{4} = \frac{9}{4}$，
解得$n = -2$（舍去）或$n = 1$.
综上，$n$的取值范围为$-\frac{1}{2} \leq n \leq 1$.