《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

17. (6 分)如图，已知$A(-1,4),B(-4,-1),C(1,1)$，求三角形$ABC$的面积.

答案： 17.$S_{\triangle ABC}=5×5-\frac{1}{2}×5×2-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×5×3=25-5-3-7.5=9.5$.

18. (7 分)如图，已知正方形$ABCD$，$M$为$BC$上一点，$F$是$AM$的中点，过$F$作$AM$的垂线，交$DC$于点$N$，交$AD$的延长线于点$E$.
(1) 求证：$\triangle ABM \sim \triangle EFA$；
(2) 若$AB = 12$，$BM = 5$，求$AE$的长.

答案： 18.
(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AD//BC，
∴∠AMB=∠EAF，
∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA.
(2)
∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴$AM=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$，
∵F是AM的中点，
∴$AF=\frac{1}{2}AM=6.5$，
∵△ABM∽△EFA，
∴$\frac{BM}{AF}=\frac{AM}{AE}$，
即$\frac{5}{6.5}=\frac{13}{AE}$，
∴AE=16.9.