《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

1. 已知抛物线$y=x^{2}-(2m+1)x+2m$不经过第三象限，且当$x＞2$时，函数值$y$随$x$的增大而增大，则实数$m$的取值范围是 (A)

A.$0\leqslant m\leqslant\frac{3}{2}$
B.$m\geqslant\frac{3}{2}$
C.$0\leqslant m\leqslant1$
D.$0＜m\leqslant\frac{3}{2}$

答案： 1.A

2. 已知二次函数$y=x^{2}-2bx+2b^{2}-4c$(其中$x$是自变量)的图象经过不同两点$A(1-b,m)$，$B(2b+c,m)$，且该二次函数的图象与$x$轴有公共点，则$b+c$的值为 (C)

A.$-1$
B.2
C.3
D.4

答案： 2.C

3. 已知二次函数$y=x^{2}-2x+2$的图象上有两点$A(-3,y_{1})$，$B(-2,y_{2})$，则$y_{1}$$＞$$y_{2}$(填“$＞$”或“$=$”).

答案： 3.$＞$

4. [新考向](2024 上海)对于一个二次函数$y=a(x-m)^{2}+k(a\neq0)$中存在一点$P(x',y')$，使得$x'-m=y'-k\neq0$，则称$2|x'-m|$的值为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线$y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x+3$的“开口大小”为4.

答案： 4.4

5. 已知函数$y=-x^{m-1}+bx-3$($m$，$b$为常数)是二次函数，其图象

的

对称轴为直线$x=1$.
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当$-2\leqslant x\leqslant0$时，求该二次函数的函数值$y$的取值范围.

答案： 5.
(1)$\because$函数$y=-x^{m-1}+bx-3(m,b$为常数)是二次函数,其图象的对称轴为直线$x=1$,
$\therefore m-1=2,-\frac{b}{2×(-1)}=1$,
$\therefore m=3,b=2$,
$\therefore$该二次函数的表达式为$y=-x^{2}+2x-3$.
(2)$\because y=-x^{2}+2x-3=-(x-1)^{2}-2$,
$\therefore$当$x=-2$时,$y=-11$;当$x=0$时,$y=-3$.
$\therefore$当$-2\leq x\leq0$时,该二次函数的函数值$y$的取值范围为$-11\leq y\leq-3$.

6. (2024 安徽)已知抛物线$y=-x^{2}+bx$($b$为常数)的顶点横坐标比抛物线$y=-x^{2}+2x$的顶点横坐标大 1.
(1)求$b$的值.
(2)点$A(x_{1},y_{1})$在抛物线$y=-x^{2}+2x$上，点$B(x_{1}+t,y_{1}+h)$在抛物线$y=-x^{2}+bx$上.
①若$h=3t$，且$x_{1}\geqslant0$，$t＞0$，求$h$的值；
②若$x_{1}=t-1$，求$h$的最大值.

答案： 6.
(1)因为抛物线$y=-x^{2}+bx$的顶点横坐标为$\frac{b}{2}$,$y=-x^{2}+2x$的顶点横坐标为$1$,
所以由条件得$\frac{b}{2}-1=1$,
解得$b=4$.
(2)因为点$A(x_{1},y_{1})$在抛物线$y=-x^{2}+2x$上,所以$y_{1}=-x_{1}^{2}+2x_{1}$.
又点$B(x_{1}+t,y_{1}+h)$在抛物线$y=-x^{2}+4x$上,则$y_{1}+h=-(x_{1}+t)^{2}+4(x_{1}+t)$.
于是$-x_{1}^{2}+2x_{1}+h=-(x_{1}+t)^{2}+4(x_{1}+t)$,
整理得$h=-t^{2}-2x_{1}t+2x_{1}+4t$.
①因为$h=3t$,所以$3t=-t^{2}-2x_{1}t+2x_{1}+4t$,
整理得$t(t+2x_{1})=t+2x_{1}$.
又$x_{1}\geq0,t＞0$,
所以$t+2x_{1}＞0$,故$t=1$,从而$h=3$.
②将$x_{1}=t-1$代入$h=-t^{2}-2x_{1}t+2x_{1}+4t$,
整理得$h=-3t^{2}+8t-2$,
配方得$h=-3(t-\frac{4}{3})^{2}+\frac{10}{3}$.
因为$-3＜0$,所以当$t=\frac{4}{3}$,即$x_{1}=\frac{1}{3}$时,$h$取最大值$\frac{10}{3}$.