《2025年悦然好学生必开卷九年级数学全一册华师大版长春专版》

24. (12 分) 如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 是 BC 边上的高，点 F 是 DE 的中点，AB 与 AG 关于 AE 对称，AE 与 AF 关于 AG 对称.
(1) 求证：△AEF 是等边三角形；
(2) 若 AB = 2，求△AFD 的面积.

答案：
24.
(1)
∵AE是BC边上的高,
∴AE⊥BC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,
∴AE⊥AD, 即∠DAE = 90°,
∵点F是DE的中点, 即AF是Rt△ADE的中线,
∴AF = EF = DF.
∵AE与AF关于AG对称,
∴AE = AF, 则AE = AF = EF,
∴△AEF是等边三角形.
(2)记AG, EF的交点为H, 如图.
∵△AEF是等边三角形, 且AE与AF关于AG对称,
∴∠EAG = 30°, AG⊥EF.
∵AB与AG关于AE对称,
∴∠BAE = ∠GAE = 30°, ∠AEB = 90°.
∵AB = 2,
∴BE = 1, DF = AF = AE = $\sqrt{3}$, 则EH = $\frac{1}{2}$AE = $\frac{\sqrt{3}}{2}$, AH = $\frac{3}{2}$,
∴S△ADF = $\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{3}{2}$ = $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.